Encontre as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano Pi normal ao vetor u=(1,2,4) que contém o ponto P=(2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano Pi que é normal ao vetor vec u=(1,2,4) e passa pelo ponto P=(2,1,1). Vamos usar conceitos de geometria analítica em R^3:
  • Para as equações paramétricas, precisamos de dois vetores diretores vec v1 e vec v2 ortogonais a vec u.
  • Para a equação cartesiana, basta usar que vec u é normal ao plano, logo vec ucdot(vec X - P)=0, onde vec X=(x,y,z).

Passo 2

Escolhemos vec v1 e vec v2 tais que
vec u cdot vec vi =0
Por exemplo, se tomarmos vec v1=(-2,1,0), então
vec ucdotvec v1 =1cdot(-2)+2cdot1+4cdot0 = -2+2+0 =0
E se tomarmos vec v2=(-4,0,1), então
vec ucdotvec v2 =1cdot(-4)+2cdot0+4cdot1 = -4+0+4 =0
Logo vec v1 e vec v2 são diretores do plano.

Passo 3

Como ponto de partida usamos P=(2,1,1) e adicionamos combinações lineares de vec v1 e vec v2. Assim, as equações paramétricas do plano são
vec r(s,t) = (2,1,1) + s(-2,1,0) + t(-4,0,1),
ou, em cada coordenada,
x = 2 - 2s - 4t, y = 1 + s, z = 1 + t, s,tinR

Passo 4

Para a equação cartesiana, usamos
vec ucdotl((x,y,z)-(2,1,1)r)=0
Isto é,
1(x-2) + 2(y-1) + 4(z-1) = 0 Longrightarrow x + 2y + 4z - 8 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 2 - 2s - 4t, y = 1 + s, z = 1 + t, s,tinR
Equação cartesiana:
x + 2y + 4z - 8 = 0

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