Seja a reta r que passa pelo ponto P=(4,4,3) e é paralela ao vetor u=(1,-1,-2). Determine as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano Pi que contém a reta r e o ponto $Q=(0,3,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano Pi que contém a reta
r:;P=(4,4,3)e direção vec u=(1,-1,-2) çã
e também o ponto Q=(0,3,1).
Conteúdo: equações paramétricas de um plano (usando dois vetores diretores) e equação cartesiana (usando o vetor normal obtido por produto vetorial).

Passo 2

Para montar o plano precisamos de dois vetores diretores. Um já é vec u=(1,-1,-2) e o outro pode ser
PQ = Q - P = (0-4,;3-4,;1-3) = (-4,-1,-2)

Passo 3

As equações paramétricas do plano usam o ponto P e os vetores vec u e PQ. Chamando parâmetros s,t, temos
Pi:;(x,y,z) = (4,4,3) + s,(1,-1,-2) + t,(-4,-1,-2),
ou em coordenadas:
x = 4 + s - 4t, y = 4 - s - t, z = 3 - 2s - 2t

Passo 4

Para a equação cartesiana, calculamos o vetor normal
vec n = vec u times PQ = i & j & k 1 & -1 & -2 -4 & -1 & -2 = (0,10,-5) sim (0,2,-1)
Logo a equação vec ncdotl((x,y,z)-Pr)=0
0,(x-4)+2,(y-4)-1,(z-3)=0 Longrightarrow 2(y-4)-(z-3)=0 Longrightarrow 2y - z -5 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 4 + s - 4t, y = 4 - s - t, z = 3 - 2s - 2t, s,tin R
Equação cartesiana:
2y - z - 5 = 0

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