Encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=(2 \operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(2 \cos t) \mathbf{j}+5 t \mathbf{k}, \quad t_{0}=4 \pi

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente à curva de espaço dada por
\mathbf{r}(t) = (2\sin t)\,\mathbf{i} + (2\cos t)\,\mathbf{j} + 5t\,\mathbf{k}
no ponto correspondente a t_{0}=4\pi. O conteúdo envolvido é derivada de função vetorial para obter o vetor tangente e, em seguida, usar a forma
\ell(s)=\mathbf{r}(t_{0}) + s\,\mathbf{r}'(t_{0})
para escrever a reta.

Passo 2

Calculamos a derivada da função vetorial, que fornece o vetor tangente em qualquer t:
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2\sin t,\,2\cos t,\,5t\bigr) = \bigl(2\cos t,\,-2\sin t,\,5\bigr).

Passo 3

Avaliamo-la em t_{0}=4\pi. Como \cos(4\pi)=1 e \sin(4\pi)=0, temos
\mathbf{r}'(4\pi) = (2\cdot 1,\,-2\cdot 0,\,5) = (2,\,0,\,5).
O ponto de tangência é
\mathbf{r}(4\pi) = \bigl(2\sin(4\pi),\,2\cos(4\pi),\,5\cdot4\pi\bigr) = (0,\,2,\,20\pi).

Passo 4

Agora montamos as equações paramétricas da reta utilizando um parâmetro s:
\ell(s) = (0,\,2,\,20\pi) + s\,(2,\,0,\,5).
Separando em coordenadas, obtemos
\begin{cases} x(s) = 0 + 2s = 2s,\\\ y(s) = 2 + 0\cdot s = 2,\\\ z(s) = 20\pi + 5s. \end{cases}

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x(s) = 2s,\quad y(s) = 2,\quad z(s) = 20\pi + 5s.

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