Encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=(a \operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(a \cos t) \mathbf{j}+b t \mathbf{k}, \quad t_{0}=2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva paramétrica
\mathbf{r}(t) = \bigl(a\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(a\cos t\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(b\,t\bigr)\,\mathbf{k}
no ponto correspondente a t_{0}=2\pi. Para isso, vamos usar que a reta tangente em t_{0} tem ponto \mathbf{r}(t_{0}) e direção dada por \mathbf{r}'(t_{0}).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência \mathbf{r}(2\pi). Substituindo t=2\pi em \mathbf{r}(t) temos
\mathbf{r}(2\pi) = \bigl(a\operatorname{sen}(2\pi)\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(a\cos(2\pi)\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(b\cdot 2\pi\bigr)\,\mathbf{k} = 0\,\mathbf{i} + a\,\mathbf{j} + 2\pi b\,\mathbf{k}.

Passo 3

Encontrar o vetor derivada \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t) = \bigl(a\cos t\bigr)\,\mathbf{i} \;-\; \bigl(a\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{j} \;+\; b\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=2\pi: como \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0,
\mathbf{r}'(2\pi) = a\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + b\,\mathbf{k} = a\,\mathbf{i} + b\,\mathbf{k}.
Esse é o vetor direção da reta tangente.

Passo 5

Montar as equações paramétricas da reta. Se chamarmos o parâmetro da reta de u, temos
\mathbf{L}(u) = \mathbf{r}(2\pi) + u\,\mathbf{r}'(2\pi) = \bigl(0,\,a,\,2\pi b\bigr) + u\,(a,\,0,\,b).
Logo as componentes são
x(u) = a\,u,\quad y(u) = a,\quad z(u) = 2\pi b + b\,u.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
\begin{cases} x = a\,u,\\\ y = a,\\\ z = 2\pi b + b\,u, \end{cases}
onde u é o parâmetro ao longo da reta.

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