Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
O círculo x^{2}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar equações paramétricas para a curva dada por \displaystyle x^{2}+y^{2}=9.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar: o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \displaystyle x^{2}+y^{2}=9 é um círculo com centro na origem (0,0) e raio 3. A tarefa é escrever x e y como funções de um parâmetro (geralmente um ângulo).

Passo 2

Ideia geométrica e função trigonométrica usada: imagine o círculo de raio 1 (o círculo unitário). Para um ângulo \displaystyle t medido a partir do eixo x positivo, os pontos do círculo unitário têm coordenadas (\cos t,\sin t). Essas são definições geométricas básicas das funções seno e cosseno: para um ângulo t, \cos t é a coordenada x no círculo unitário e \sin t é a coordenada y. Se o círculo tem raio r em vez de 1, basta multiplicar essas coordenadas por r para obter (r\cos t,\,r\sin t). Aqui r=3.

Passo 3

Escrevendo a parametrização por ângulo: usar t como parâmetro (ângulo). Assim as equações paramétricas naturais são
x = 3\cos t
y = 3\sin t
Explicando cada símbolo: x e y são as coordenadas do ponto no plano; t é o parâmetro (ângulo) que varre a circunferência; \cos e \sin são as funções trigonométricas cosseno e seno.

Passo 4

Verificação passo a passo de que a parametrização satisfaz a equação do círculo: substituímos x e y na equação \displaystyle x^{2}+y^{2}=9.
x^{2}+y^{2} = (3\cos t)^{2} + (3\sin t)^{2}
x^{2}+y^{2} = 9\cos^{2}t + 9\sin^{2}t = 9\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)
Pela identidade trigonométrica fundamental \displaystyle \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, obtemos
x^{2}+y^{2}=9\cdot 1 = 9,
portanto a parametrização funciona para todo t.

Passo 5

Domínio do parâmetro e orientação: normalmente tomamos t\in\mathbb{R} (todos os reais), ou para representar cada ponto uma vez podemos usar 0\le t<2\pi. À medida que t aumenta a partir de 0, o ponto percorre o círculo no sentido anti-horário (orientação positiva). Exemplos de pontos para valores especiais de t:
t=0 \Rightarrow (x,y)=(3,0)
t=\tfrac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,3)
t=\pi \Rightarrow (x,y)=(-3,0)
t=\tfrac{3\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,-3)

Passo 6

Outras parametrizações possíveis (úteis para provas ou exercícios): podemos trocar a orientação usando y=-3\sin t, ou deslocar o ângulo com uma fase \varphi usando x=3\cos(t+\varphi),\;y=3\sin(t+\varphi). Também existe uma parametrização racional (útil em alguns problemas de álgebra) usando a substituição u=\tan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr):
x = 3\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}
y = 3\frac{2u}{1+u^{2}}
com u\in\mathbb{R} (essa parametrização percorre todo o círculo quando u varia na reta estendida).

Resposta

x=3\cos t,\\ y=3\sin t,\\ t\in\mathbb{R}

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