Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
O círculo
O círculo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar equações paramétricas para a curva dada por
.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar: o conjunto de pontos que satisfazem
é um círculo com centro na origem
e raio
. A tarefa é escrever
e
como funções de um parâmetro (geralmente um ângulo).
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar: o conjunto de pontos
Passo 2
Ideia geométrica e função trigonométrica usada: imagine o círculo de raio
(o círculo unitário). Para um ângulo
medido a partir do eixo
positivo, os pontos do círculo unitário têm coordenadas
. Essas são definições geométricas básicas das funções seno e cosseno: para um ângulo
,
é a coordenada
no círculo unitário e
é a coordenada
. Se o círculo tem raio
em vez de
, basta multiplicar essas coordenadas por
para obter
. Aqui
.
Passo 3
Escrevendo a parametrização por ângulo: usar
como parâmetro (ângulo). Assim as equações paramétricas naturais são
Explicando cada símbolo:
e
são as coordenadas do ponto no plano;
é o parâmetro (ângulo) que varre a circunferência;
e
são as funções trigonométricas cosseno e seno.
Passo 4
Verificação passo a passo de que a parametrização satisfaz a equação do círculo: substituímos
e
na equação
.
Pela identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
portanto a parametrização funciona para todo
.
Passo 5
Domínio do parâmetro e orientação: normalmente tomamos
(todos os reais), ou para representar cada ponto uma vez podemos usar
. À medida que
aumenta a partir de
, o ponto percorre o círculo no sentido anti-horário (orientação positiva). Exemplos de pontos para valores especiais de
:
Passo 6
Outras parametrizações possíveis (úteis para provas ou exercícios): podemos trocar a orientação usando
, ou deslocar o ângulo com uma fase
usando
. Também existe uma parametrização racional (útil em alguns problemas de álgebra) usando a substituição
:
com
(essa parametrização percorre todo o círculo quando
varia na reta estendida).