Determine o conjunto de pontos de continuidade da função abaixo, definida na faixa
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
A pergunta é: determinar o conjunto de pontos de continuidade de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O domínio de interesse é
, ou seja todos os pontos com . - A fórmula com logaritmo vale para todos os pontos de
exceto . - Em
a função vale explicitamente . - Para testar continuidade num ponto, preciso verificar se a expressão do log está bem definida (argument
) e se o limite da expressão quando nos aproximamos do ponto coincide com o valor dado.]
Passo 2
Primeiro vamos estudar os pontos
com
. Nesses pontos o denominador da fração é
porque
. Portanto não há divisão por zero nesses pontos.
Explico rapidinho: polinômios (como
) são funções contínuas e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é não nulo. Além disso, a função
é contínua em todo
. Logo, se a fração dentro do
for sempre estritamente positiva nesses pontos, então a composição é contínua nesses pontos.
Passo 3
Vamos verificar o sinal do numerador. Reescrevo o numerador de forma mais didática:
Como
temos
. Assim
e
. A soma dessas duas parcelas só pode ser zero se ambas forem zero simultaneamente, isto é se
e
, ou seja se
.
Conclusão desta etapa: para todo
com
o numerador é estritamente positivo. Como o denominador também é estritamente positivo, a fração é
e o argumento do
está bem definido e é positivo.
Passo 4
Pelo que vimos, para todo
com
a função é composição de funções contínuas em pontos onde tudo é bem definido. Portanto
é contínua em todos os pontos de
diferentes de
.
Aqui uma mini-aula: regra prática para provas — se tens uma expressão racional
com
polinômios e
no ponto, então
é contínua aí; e se compões com
(que é contínua em
), então
também é contínua, desde que
.
Passo 5
Resta examinar a continuidade em
. Temos que verificar se
É mais fácil trabalhar com o argumento da
. Defina
Queremos
. Se conseguirmos mostrar que
, então pela continuidade do
em
teremos a conclusão desejada.
Passo 6
Para calcular
usemos coordenadas polares — é uma técnica padrão e muito útil: ponha
onde
e
é o ângulo. Quando
isso equivale a
com
qualquer.
Substituindo em
:
Agrupando termos:
Passo 7
Agora observe que
é bounded; isto é existe constante
com
. Portanto o termo
tende a zero quando
, independentemente de
. Assim
Como a expressão limite não depende de
, concluímos que
Passo 8
Aplicando a continuidade do log em
, obtemos
Isso coincide com o valor definido para
. Portanto
é contínua em
.
Passo 9
Juntando tudo:
é contínua em todos os pontos
com
(Passos 2–4) e também em
(Passos 5–8). Logo
é contínua em todo o domínio
.
Força aí — a conclusão é simples depois de ver que a fração tem bom sinal e que o limite polar levou direto a
.
Resposta
O conjunto de pontos de continuidade de
é
.