Determine o conjunto de pontos de continuidade da função abaixo, definida na faixa D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-2<y<2\right\}
f(x, y)= \begin{cases}\ln \left(\frac{4 x^{2}-x^{2} y^{2}+4 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right), & (x, y) \neq(0,0),-2<y<2 \\\ \ln (4), & (x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida em D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:-2<y<2\}\) por \[f(x,y)=\begin{cases} \ln\!\left(\dfrac{4x^{2}-x^{2}y^{2}+4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right), & (x,y)\neq(0,0),\;-2<y<2,\\[6pt] \ln(4), & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: determinar o conjunto de pontos de continuidade de f\] dentro de \(D.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O domínio de interesse é D, ou seja todos os pontos com -2<y<2.
  • A fórmula com logaritmo vale para todos os pontos de D exceto (0,0).
  • Em (0,0) a função vale explicitamente \ln(4).
  • Para testar continuidade num ponto, preciso verificar se a expressão do log está bem definida (argument >0) e se o limite da expressão quando nos aproximamos do ponto coincide com o valor dado.]

Passo 2

Primeiro vamos estudar os pontos (x,y)\in D com (x,y)\neq(0,0). Nesses pontos o denominador da fração é
x^{2}+y^{2}>0,
porque (x,y)\neq(0,0). Portanto não há divisão por zero nesses pontos.
Explico rapidinho: polinômios (como 4x^{2}-x^{2}y^{2}+4y^{2}) são funções contínuas e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é não nulo. Além disso, a função \ln é contínua em todo (0,+\infty). Logo, se a fração dentro do \ln for sempre estritamente positiva nesses pontos, então a composição é contínua nesses pontos.

Passo 3

Vamos verificar o sinal do numerador. Reescrevo o numerador de forma mais didática:
4x^{2}-x^{2}y^{2}+4y^{2}=x^{2}(4-y^{2})+4y^{2}.
Como -2<y<2 temos 4-y^{2}>0. Assim x^{2}(4-y^{2})\ge 0 e 4y^{2}\ge 0. A soma dessas duas parcelas só pode ser zero se ambas forem zero simultaneamente, isto é se x^{2}=0 e y^{2}=0, ou seja se (x,y)=(0,0).
Conclusão desta etapa: para todo (x,y)\in D com (x,y)\neq(0,0) o numerador é estritamente positivo. Como o denominador também é estritamente positivo, a fração é >0 e o argumento do \ln está bem definido e é positivo.

Passo 4

Pelo que vimos, para todo (x,y)\in D com (x,y)\neq(0,0) a função é composição de funções contínuas em pontos onde tudo é bem definido. Portanto f é contínua em todos os pontos de D diferentes de (0,0).
Aqui uma mini-aula: regra prática para provas — se tens uma expressão racional g(x,y)=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)} com P,Q polinômios e Q\neq0 no ponto, então g é contínua aí; e se compões com \ln (que é contínua em (0,\infty)), então \ln\circ g também é contínua, desde que g>0.

Passo 5

Resta examinar a continuidade em (0,0). Temos que verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\ln(4).
É mais fácil trabalhar com o argumento da \ln. Defina
A(x,y)=\frac{4x^{2}-x^{2}y^{2}+4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Queremos \lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln(A(x,y)). Se conseguirmos mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y)=4, então pela continuidade do \ln em 4>0 teremos a conclusão desejada.

Passo 6

Para calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y) usemos coordenadas polares — é uma técnica padrão e muito útil: ponha
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to0^+ com \theta qualquer.
Substituindo em A:
\begin{aligned} A(r,\theta) &=\frac{4r^{2}\cos^{2}\theta - r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta + 4r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}}\\[4pt] &=4\cos^{2}\theta - r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta. \end{aligned}
Agrupando termos:
A(r,\theta)=4(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) - r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta = 4 - r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.]

Passo 7

Agora observe que \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta é bounded; isto é existe constante M com 0\le \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta \le 1. Portanto o termo r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta tende a zero quando r\to0, independentemente de \theta. Assim
\lim_{r\to0^+} A(r,\theta)=4.
Como a expressão limite não depende de \theta, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y)=4.

Passo 8

Aplicando a continuidade do log em 4>0, obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln(A(x,y))=\ln\!\big(\lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y)\big)=\ln(4).
Isso coincide com o valor definido para f(0,0). Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 9

Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos (x,y)\in D com (x,y)\neq(0,0) (Passos 2–4) e também em (0,0) (Passos 5–8). Logo f é contínua em todo o domínio D.
Força aí — a conclusão é simples depois de ver que a fração tem bom sinal e que o limite polar levou direto a 4.

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:-2<y<2\}.

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