Em cada caso, determine se o limite existe. Justifique e calcule o valor do limite caso ele exista.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se existe o limite
e, caso exista, calcular o seu valor.
Informações dadas que vamos usar: a função é\ . O ponto onde a aproximação ocorre é
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas que vamos usar: a função é\
Passo 2
Vamos analisar o numerador separadamente. Queremos
Usamos que a função
é contínua e a projeção
é contínua também. Portanto as operações de soma e limite se distribuem:
Somando,
Explicação curta do conceito usado: uma função contínua em uma variável tem o valor limite igual ao valor da função no ponto. Aqui
é contínua em
, logo ao aproximar
de
com
temos
.
Passo 3
Agora o denominador:
Analogamente,
é contínua e
. Já vimos
. Assim
Passo 4
Aplicamos um resultado padrão de limites: se
e
e
, então
Aqui
e
, e de fato
. Uma observação prática: como o limite do denominador é
, existe um raio pequeno em torno de
onde o denominador não se anula, então a função está bem definida numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e podemos dividir normalmente.
Passo 5
Usando a regra do passo anterior, o limite pedido existe e vale
Passo 6
Para ganhar intuição (útil na prova), veja checagens por caminhos:
- Pelo caminho
e :
- Pelo caminho
e :
Ambos confirmam o mesmo valor, reforçando que o limite é
.