Em cada caso, determine se o limite existe. Justifique e calcule o valor do limite caso ele exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+e^{x}}{\operatorname{sen} y-e^{x}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+e^{x}}{\operatorname{sen} y - e^{x}},
e, caso exista, calcular o seu valor.
Informações dadas que vamos usar: a função é\ \displaystyle f(x,y)=\frac{x+e^{x}}{\operatorname{sen} y - e^{x}}. O ponto onde a aproximação ocorre é (0,0). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos analisar o numerador separadamente. Queremos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(x+e^{x}\bigr).
Usamos que a função x\mapsto e^{x} é contínua e a projeção (x,y)\mapsto x é contínua também. Portanto as operações de soma e limite se distribuem:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x = 0,\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{x}=e^{0}=1.
Somando,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(x+e^{x}\bigr)=0+1=1.
Explicação curta do conceito usado: uma função contínua em uma variável tem o valor limite igual ao valor da função no ponto. Aqui e^{x} é contínua em x=0, logo ao aproximar (x,y) de (0,0) com x\to0 temos e^{x}\to1.

Passo 3

Agora o denominador:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(\operatorname{sen} y - e^{x}\bigr).
Analogamente, \operatorname{sen} y é contínua e \lim_{(x,y)\to(0,0)} \operatorname{sen} y = \operatorname{sen} 0 = 0. Já vimos \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{x}=1. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(\operatorname{sen} y - e^{x}\bigr)=0-1=-1.

Passo 4

Aplicamos um resultado padrão de limites: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y)=A_0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)} B(x,y)=B_0 e B_0\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{A(x,y)}{B(x,y)}=\frac{A_0}{B_0}.
Aqui A_0=1 e B_0=-1, e de fato B_0\neq 0. Uma observação prática: como o limite do denominador é -1, existe um raio pequeno em torno de (0,0) onde o denominador não se anula, então a função está bem definida numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e podemos dividir normalmente.

Passo 5

Usando a regra do passo anterior, o limite pedido existe e vale
\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Para ganhar intuição (útil na prova), veja checagens por caminhos:
  • Pelo caminho y=0 e x\to0:
\frac{x+e^{x}}{\operatorname{sen} 0 - e^{x}}=\frac{x+e^{x}}{-e^{x}}=-\Bigl(\frac{x}{e^{x}}+1\Bigr)\to -(0+1)=-1.
  • Pelo caminho x=0 e y\to0:
\frac{0+e^{0}}{\operatorname{sen} y - e^{0}}=\frac{1}{\operatorname{sen} y -1}\to\frac{1}{0-1}=-1.
Ambos confirmam o mesmo valor, reforçando que o limite é -1.

Resposta

-1

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