Encontre as equações da reta tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto cuja abscissa é
. Para isso precisamos:
- Encontrar o ponto de contato
avaliando . - Calcular a derivada
para obter a inclinação da tangente em . - Usar a forma ponto-inclinação para escrever as equações da reta tangente e, em seguida, da reta normal.
Passo 2
Avaliaremos o ponto de contato:
Logo,
.
Calculamos a derivada de :
Calculamos a derivada de
Em
,
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 3
Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente:
com
e
, obtemos
Podemos também escrever em forma explícita:
Passo 4
A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Aplicando novamente a forma ponto-inclinação em
, temos
ou, na forma explícita,
Resposta
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal: