Encontre as equações da reta tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada.
y=\sqrt{x} ; x=9

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = \sqrt{x} no ponto cuja abscissa é x = 9. Para isso precisamos:
  1. Encontrar o ponto de contato P avaliando f(9).
  2. Calcular a derivada f'(x) para obter a inclinação da tangente em x=9.
  3. Usar a forma ponto-inclinação para escrever as equações da reta tangente e, em seguida, da reta normal.

Passo 2

Avaliaremos o ponto de contato:
f(9) = \sqrt{9} = 3.
Logo, P = (9,3).
Calculamos a derivada de f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}:
f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Em x=9,
f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2\cdot 3} = \frac{1}{6}.
Portanto, a inclinação da reta tangente é m_{\text{t}} = \tfrac16.

Passo 3

Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente:
y - y_0 = m_{\text{t}}(x - x_0),
com (x_0,y_0)=(9,3) e m_{\text{t}}=\tfrac16, obtemos
y - 3 = \frac{1}{6}(x - 9).
Podemos também escrever em forma explícita:
y = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}.

Passo 4

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
m_{\text{n}} = -\frac{1}{m_{\text{t}}} = -6.
Aplicando novamente a forma ponto-inclinação em P=(9,3), temos
y - 3 = -6(x - 9),
ou, na forma explícita,
y = -6x + 57.

Resposta

Equação da reta tangente:
y - 3 = \frac{1}{6}(x - 9) \quad\text{ou}\quad y = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}.
Equação da reta normal:
y - 3 = -6(x - 9) \quad\text{ou}\quad y = -6x + 57.

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