Calcule a derivada:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de uma função na forma
. Vamos usar a técnica de logaritmo natural (log-diferenciação), que transforma a potência em produto e facilita o uso das regras de derivação (produto, cadeia).
Passo 2
Aplicamos logaritmo natural dos dois lados para simplificar a expressão:
Usando
, obtemos
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, pela regra da derivada de
e da cadeia, vem
No lado direito, usamos a regra do produto em
Logo
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Para a derivada interna, use a regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Voltando à expressão para
:
Multiplicando por
, temos
Finalmente, substituímos
: