Calcule a derivada:
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de uma função na forma f(x)^{g(x)}. Vamos usar a técnica de logaritmo natural (log-diferenciação), que transforma a potência em produto e facilita o uso das regras de derivação (produto, cadeia).

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural dos dois lados para simplificar a expressão:
\ln y = \ln\Bigl[\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{x}\Bigr].
Usando \ln(a^b)=b\,\ln a, obtemos
\ln y = x \,\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da derivada de \ln y e da cadeia, vem
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}.
No lado direito, usamos a regra do produto em
g(x) = x\cdot \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr).
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\ln y\bigr] = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl[x\ln(1+1/x)\bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada de g(x):
g'(x) = 1\cdot \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) + x\cdot \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)\Bigr].
Para a derivada interna, use a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{x}} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{x}} \cdot \bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr) = -\frac{1}{x(x+1)}.
Portanto
g'(x) = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{x}{x(x+1)} = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}.

Passo 5

Voltando à expressão para \tfrac{dy}{dx}:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = g'(x) = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}.
Multiplicando por y, temos
\frac{dy}{dx} = y \,\Biggl[\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}\Biggr].
Finalmente, substituímos y = \bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{x}:

Resposta

\frac{dy}{dx} = \Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)^{x} \Biggl[\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}\Biggr].

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