Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos planos.
5 x-2 y-2 z=1, \quad 4 x+y+z=6

Passo 1

O enunciado dá os planos
5x - 2y - 2z = 1
e
4x + y + z = 6
e pede a reta de interseção em forma simétrica. Para isso, vamos (1) obter o vetor diretor dessa reta pelo produto vetorial dos vetores normais e (2) encontrar um ponto pertencente a ambos os planos resolvendo o sistema.

Passo 2

Os vetores normais são \mathbf{n}_1 = (5,-2,-2) e \mathbf{n}_2 = (4,1,1).
O vetor diretor \mathbf{v} da reta é
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 5 & -2 & -2 \\[3pt] 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0,\,-13,\,13),
que é proporcional a \,(0,-1,1).]

Passo 3

Para um ponto P_0\) na reta, escolhemos \(z=0\) e resolvemos \[\begin{cases} 5x - 2y = 1,\\\\ 4x + y = 6. \end{cases}
Da segunda equação vem \,y = 6 - 4x\]. Substituindo na primeira: \[5x - 2(6 - 4x) = 1 \;\Longrightarrow\; 5x - 12 + 8x = 1 \;\Longrightarrow\; 13x = 13 \;\Longrightarrow\; x = 1,\] logo \(y = 6 - 4 = 2. Assim, P_0 = (1,2,0).

Passo 4

A forma simétrica da reta com ponto P_0=(1,2,0) e vetor diretor (0,-1,1) é
\frac{x-1}{0} \;=\;\frac{y-2}{-1}\;=\;\frac{z-0}{1}.
Como \tfrac{x-1}{0} força x=1, podemos escrever de modo equivalente:
x = 1, \qquad \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{1}.

Resposta

x = 1, \quad \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{1}.

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