Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos planos.
5 x-2 y-2 z=1, \quad 4 x+y+z=6

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção de dois planos, ou seja, a curva que pertence simultaneamente a
5x - 2y - 2z = 1
e
4x + y + z = 6.
Para escrevermos as equações simétricas dessa reta, precisamos de dois ingredientes:
  1. Um vetor diretor da reta, que é perpendicular aos dois vetores normais dos planos (logo, é o produto vetorial desses normais).
  2. Um ponto qualquer que satisfaça ambas as equações dos planos.

Passo 2

Identificamos os vetores normais
\mathbf{n}_1 = (5,\,-2,\,-2), \quad \mathbf{n}_2 = (4,\,1,\,1).
O vetor diretor \mathbf{d} é dado por
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 5 & -2 & -2 \\\\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0,\,-13,\,13).
Para simplificar, podemos dividir por -13 e usar
\mathbf{d} = (0,\,1,\,-1).

Passo 3

Para achar um ponto P=(x,y,z) que satisfaça ambos os planos, basta atribuir um valor a uma das variáveis e resolver o sistema. Escolhendo x=1, as equações viram
5\cdot1 - 2y - 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -2y - 2z = -4 \quad\Longrightarrow\quad y + z = 2,
4\cdot1 + y + z = 6 \quad\Longrightarrow\quad y + z = 2,
que coincide. Então podemos pegar, por exemplo, z=0 e obter y=2. Assim,
P = (1,\,2,\,0).

Passo 4

Com o ponto P\) e o vetor diretor \(\mathbf{d}=(0,1,-1)\), as equações paramétricas da reta são \[\begin{cases} x = 1 + 0\,t = 1,\\\ y = 2 + 1\,t,\\\ z = 0 - 1\,t = -t. \end{cases}
De y = 2 + t\] obtemos \(t = y - 2, e de z = -t obtemos t = -z. Igualando esses valores de t, fica
y - 2 = -\,z.
Como x não depende de t, temos x = 1.

Resposta

x = 1, \qquad \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{-1}.

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