Encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre e esboce o domínio da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
Portanto preciso determinar para quais pares
o produto
é maior ou igual a zero (já que a raiz quadrada exige argumento
). Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Escrevo a condição que garante que
está definida:
Essa é a desigualdade que vou resolver. Primeiro explico o que significa uma desigualdade de produto ser não negativa: um produto de dois números é
quando os dois são simultaneamente não negativos (ambos
) ou os dois são simultaneamente não positivos (ambos
). Vou aplicar isso aos fatores
e
.
Passo 3
Fatoro os termos quadráticos para visualizar melhor os zeros:
Os zeros de
são
; entre esses valores o sinal muda. Vou estudar o sinal de
em intervalos, e o mesmo vale para
.
Passo 4
Análise de sinais (explicação didática):
- Para
: - Se
(ou seja ou ), então . - Se
(ou seja ), então . - Se
(ou seja ), então .
- Se
- O mesmo vale para
: -
. -
. -
.
-
Esses fatos vêm direto da forma
: quando o quadrado é maior que
o resultado é positivo, quando é menor que
o resultado é negativo, e quando igual é zero.
Passo 5
Uso a regra do sinal do produto:
acontece em duas situações:
- Ambos não negativos:
isto é, - Ambos não positivos:
isto é,
Note que os casos incluem as fronteiras
ou
porque aí algum fator é zero e o produto fica igual a zero (a raiz de zero é válida).
Passo 6
Reuno as duas situações em uma descrição única do domínio. Em linguagem de conjuntos:
Em notação mais explícita de intervalos:
Passo 7
Como esboçar esse domínio no plano
:
- Desenhe o quadrado central com vértices em
. Todo esse quadrado fechado pertence ao domínio. - Adicione as quatro regiões “canto” fora desse quadrado: os pontos onde simultaneamente
e . Essas são as quatro partes não limitadas que ficam além das linhas e (quatro “retângulos” infinitos nos cantos). - As linhas
e estão incluídas (porque produzem radicando zero quando o outro fator for finito).
Exemplos rápidos para checar: -
: → pertence (está no quadrado). -
: → não pertence (está fora do domínio). -
: → pertence (está em um canto). -
: → pertence (linha incluída).