Encontre e esboce o domínio para cada função.
h(x, y)=\sqrt{\left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre e esboce o domínio da função
h(x,y)=\sqrt{\left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right)}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{domínio} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \text{o radicando está definido e } \ge 0\}.íá
Portanto preciso determinar para quais pares (x,y) o produto \left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right) é maior ou igual a zero (já que a raiz quadrada exige argumento \ge 0). Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Escrevo a condição que garante que h está definida:
\left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right)\ge 0.
Essa é a desigualdade que vou resolver. Primeiro explico o que significa uma desigualdade de produto ser não negativa: um produto de dois números é \ge 0 quando os dois são simultaneamente não negativos (ambos \ge 0) ou os dois são simultaneamente não positivos (ambos \le 0). Vou aplicar isso aos fatores x^{2}-4 e y^{2}-4.

Passo 3

Fatoro os termos quadráticos para visualizar melhor os zeros:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),\qquad y^{2}-4=(y-2)(y+2).
Os zeros de x^{2}-4 são x=\pm 2; entre esses valores o sinal muda. Vou estudar o sinal de x^{2}-4 em intervalos, e o mesmo vale para y^{2}-4.

Passo 4

Análise de sinais (explicação didática):
  • Para x:
    • Se |x|>2 (ou seja x<-2 ou x>2), então x^{2}-4>0.
    • Se |x|<2 (ou seja -2<x<2), então x^{2}-4<0.
    • Se |x|=2 (ou seja x=\pm 2), então x^{2}-4=0.
  • O mesmo vale para y:
    • |y|>2 \Rightarrow y^{2}-4>0.
    • |y|<2 \Rightarrow y^{2}-4<0.
    • |y|=2 \Rightarrow y^{2}-4=0.
Esses fatos vêm direto da forma (\text{número})^2-4ú: quando o quadrado é maior que 4 o resultado é positivo, quando é menor que 4 o resultado é negativo, e quando igual é zero.

Passo 5

Uso a regra do sinal do produto: (x^{2}-4)(y^{2}-4)\ge 0 acontece em duas situações:
  1. Ambos não negativos: x^{2}-4\ge 0\quad\text{e}\quad y^{2}-4\ge 0isto é, |x|\ge 2\quad\text{e}\quad |y|\ge 2.
  2. Ambos não positivos: x^{2}-4\le 0\quad\text{e}\quad y^{2}-4\le 0isto é, |x|\le 2\quad\text{e}\quad |y|\le 2.
Note que os casos incluem as fronteiras |x|=2 ou |y|=2 porque aí algum fator é zero e o produto fica igual a zero (a raiz de zero é válida).

Passo 6

Reuno as duas situações em uma descrição única do domínio. Em linguagem de conjuntos:
\text{Dom}(h)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (|x|\le 2\\ \text{e}\\ |y|\le 2)\\ \text{ou}\\ (|x|\ge 2\\ \text{e}\\ |y|\ge 2)\}.
Em notação mais explícita de intervalos:
\text{Dom}(h)=[-2,2]\times[-2,2]\\ \cup\\ \big( (-\infty,-2]\cup[2,\infty)\big)\times\big( (-\infty,-2]\cup[2,\infty)\big).

Passo 7

Como esboçar esse domínio no plano (x,y):
  • Desenhe o quadrado central com vértices em (\pm 2,\pm 2). Todo esse quadrado fechado [-2,2]\times[-2,2] pertence ao domínio.
  • Adicione as quatro regiões “canto” fora desse quadrado: os pontos onde simultaneamente |x|\ge 2 e |y|\ge 2. Essas são as quatro partes não limitadas que ficam além das linhas x=\pm 2 e y=\pm 2 (quatro “retângulos” infinitos nos cantos).
  • As linhas x=\pm 2 e y=\pm 2 estão incluídas (porque produzem radicando zero quando o outro fator for finito).
    Exemplos rápidos para checar:
  • (0,0): (0^2-4)(0^2-4)=(-4)(-4)=16\ge 0 → pertence (está no quadrado).
  • (3,1): (9-4)(1-4)=5\cdot(-3)=-15<0 → não pertence (está fora do domínio).
  • (3,3): (9-4)(9-4)=5\cdot5=25\ge 0 → pertence (está em um canto).
  • (2,1): (4-4)(1-4)=0\cdot(-3)=0 → pertence (linha x=2 incluída).

Resposta

\text{Dom}(h)=[-2,2]\times[-2,2]\;\cup\;\big((-\infty,-2]\cup[2,\infty)\big)\times\big((-\infty,-2]\cup[2,\infty)\big).

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