Encontre e esboce o domínio das seguintes funções:
z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2 x-y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o domínio da função z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2 x-y} e (2) esboçar esse domínio no plano (x,y). As informações relevantes que o enunciado dá são exatamente as expressões dentro das raízes: y-x^{2} e 2x-y.

Passo 2

Para que cada raiz quadrada produza um número real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Portanto temos as duas condições:
y-x^{2}\ge 0
2x-y\ge 0

Passo 3

Escrevendo as desigualdades de forma conjunta obtemos
x^{2}\le y\le 2x.
Isto significa que y tem que ficar entre a parábola y=x^{2} (por baixo) e a reta y=2x (por cima).

Passo 4

Para que exista algum y que satisfaça x^{2}\le y\le 2x precisamos que a faixa não seja vazia, isto é, que a condição
x^{2}\le 2x
seja satisfeita. Vamos resolver essa desigualdade.
Passos para resolver x^{2}\le 2x:
x^{2}-2x\le 0
x(x-2)\le 0.
Uma parábola com raízes em x=0 e x=2 é negativa (ou zero) entre as raízes, então
0\le x\le 2.

Passo 5

Conclusão combinada: o domínio é o conjunto dos pares (x,y) tais que
0\le x\le 2\quad\text{e}\quad x^{2}\le y\le 2x.
Ou seja, para cada x entre 0 e 2 incluídos, y varia entre a parábola y=x^{2} e a reta y=2x, com as fronteiras incluídas porque as desigualdades são não estritas (raízes permitem radicando zero).

Passo 6

Como orientar o esboço (passo a passo para desenhar no caderno/prova):
  • Desenhar os eixos x e y.
  • Desenhar a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), passa por (1,1), (2,4).
  • Desenhar a reta y=2x: passa por (0,0) e (2,4).
  • Identificar os pontos de interseção: resolver x^{2}=2x x=0 e x=2, então interseções em (0,0) e (2,4).
  • Sombrear a região entre a parábola e a reta para x entre 0 e 2. Incluir as fronteiras (linhas sólidas), pois iguais são permitidos.
  • Exemplos rápidos: o ponto (1,1{,}5) está no domínio porque 1^{2}=1\le 1{,}5\le 2\cdot1=2. O ponto (-1,0) não está no domínio (porque x<0). O ponto (3,3) não está (porque x>2).

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 2,\;x^{2}\le y\le 2x\}

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