Encontre e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}{y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e esboçar o domínio da função
f(x,y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}{y}.
As informações relevantes que o enunciado dá (e que vou usar) são:
  • A função tem uma raiz quadrada no numerador, portanto o radicando deve ser não-negativo: isto é, há a condição \;4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • A função tem divisão por y, portanto não se pode ter y=0 (divisão por zero é inválida).

Passo 2

Trabalhando a condição do radicando da raiz quadrada: a desigualdade
4-x^{2}-y^{2}\ge 0
é equivalente a
x^{2}+y^{2}\le 4.
Explicando devagar: somando x^{2}+y^{2} em ambos os lados vem 4\ge x^{2}+y^{2}, o que escrevemos como \;x^{2}+y^{2}\le 4. Geometricamente, essa desigualdade descreve o disco fechado (inclui a fronteira) de centro na origem e raio 2.

Passo 3

A segunda condição vem do denominador: devemos ter
y\neq 0.
Explicando: qualquer valor de y diferente de zero é permitido (positivo ou negativo); só não vale y=0, porque aí a expressão seria divisão por zero.

Passo 4

Agora combino as duas condições: o ponto (x,y) pertence ao domínio se e somente se satisfizer simultaneamente
x^{2}+y^{2}\le 4\quad\text{e}\quad y\neq 0.
Em palavras: é todo o disco de raio 2 centrado na origem, incluindo a borda circular, exceto a linha horizontal y=0 dentro desse disco (ou seja, o segmento da reta y=0 entre x=-2 e x=2 é removido).

Passo 5

Vou dar duas formas equivalentes e úteis para escrever o domínio:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\neq 0\}.
Alternativamente,
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}\setminus\{(x,0)\mid -2\le x\le 2\}.
Explicando por que a fronteira circular (onde x^{2}+y^{2}=4) é incluída: nesses pontos o radicando vale zero e \sqrt{0}=0, então a expressão é \frac{0}{y}=0 desde que y\neq 0. Os dois pontos especiais (2,0) e (-2,0) estão na fronteira do disco, mas são excluídos porque têm y=0.

Passo 6

Algumas verificações rápidas de pontos (para você ter confiança na resposta):
  • (0,1): tem x^{2}+y^{2}=1\le 4 e y=1\neq0, logo está no domínio. A função vale \frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
  • (0,0): tem y=0, portanto está fora do domínio (divisão por zero), mesmo que x^{2}+y^{2}\le4.
  • (2,0): tem x^{2}+y^{2}=4 (radicando zero) mas y=0, portanto excluído.
  • (2,0,1) não faz sentido; só lembrando que a notação é (x,y).

Passo 7

Como esboçar (passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe o círculo de centro (0,0) e raio 2.
  2. Pinte (ou marque) todo o interior do círculo e também a borda circular (porque a desigualdade é \le).
  3. Remova (apague) a parte da reta y=0 que fica dentro do círculo, ou seja o segmento entre x=-2 e x=2. Esse segmento está excluído do domínio.
  4. O restante (tudo dentro do disco e na borda, exceto esse segmento horizontal) é o domínio.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\neq 0\}.

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