Encontre e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e esboçar o domínio da função
As informações relevantes que o enunciado dá (e que vou usar) são:
- A função tem uma raiz quadrada no numerador, portanto o radicando deve ser não-negativo: isto é, há a condição
. - A função tem divisão por
, portanto não se pode ter (divisão por zero é inválida).
Passo 2
Trabalhando a condição do radicando da raiz quadrada: a desigualdade
é equivalente a
Explicando devagar: somando
em ambos os lados vem
, o que escrevemos como
. Geometricamente, essa desigualdade descreve o disco fechado (inclui a fronteira) de centro na origem e raio
.
Passo 3
A segunda condição vem do denominador: devemos ter
Explicando: qualquer valor de
diferente de zero é permitido (positivo ou negativo); só não vale
, porque aí a expressão seria divisão por zero.
Passo 4
Agora combino as duas condições: o ponto
pertence ao domínio se e somente se satisfizer simultaneamente
Em palavras: é todo o disco de raio
centrado na origem, incluindo a borda circular, exceto a linha horizontal
dentro desse disco (ou seja, o segmento da reta
entre
e
é removido).
Passo 5
Vou dar duas formas equivalentes e úteis para escrever o domínio:
Alternativamente,
Explicando por que a fronteira circular (onde
) é incluída: nesses pontos o radicando vale zero e
, então a expressão é
desde que
. Os dois pontos especiais
e
estão na fronteira do disco, mas são excluídos porque têm
.
Passo 6
Algumas verificações rápidas de pontos (para você ter confiança na resposta):
-
: tem e , logo está no domínio. A função vale . -
: tem , portanto está fora do domínio (divisão por zero), mesmo que . -
: tem (radicando zero) mas , portanto excluído. -
não faz sentido; só lembrando que a notação é .
Passo 7
Como esboçar (passo a passo para desenhar no papel):
- Desenhe o círculo de centro
e raio . - Pinte (ou marque) todo o interior do círculo e também a borda circular (porque a desigualdade é
). - Remova (apague) a parte da reta
que fica dentro do círculo, ou seja o segmento entre e . Esse segmento está excluído do domínio. - O restante (tudo dentro do disco e na borda, exceto esse segmento horizontal) é o domínio.