Encontre e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar e esboçar o domínio.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é real e depende de duas variáveis reais
e . - O que se pede: o conjunto de pares ordenados
em para os quais está bem definida como número real, e um esboço desse conjunto.
Passo 2
Identificar as restrições que impedem a expressão de ser bem definida. Existem duas restrições típicas aqui:
- A raiz quadrada
só está definida (valores reais) se o radicando for maior ou igual a zero. Logo é necessário
- O resultado da raiz aparece no denominador. Não podemos dividir por zero. Portanto o radicando não pode ser zero:
Combinar 1) e 2) dá a condição comum necessária e suficiente para que
exista como número real.
Passo 3
Juntando as duas condições do passo anterior, obtemos
Isto é, a condição para o domínio é
Passo 4
Interpretar a desigualdade de forma prática (útil na prova):
- Para
: ao dividir por (positivo) obtém-se
Ou seja, para abscissas positivas o ponto deve estar abaixo da curva
.
- Para
: ao dividir por (negativo) a desigualdade inverte-se:
Ou seja, para abscissas negativas o ponto deve estar acima da curva
.
- Para
: temos e é verdadeiro para todo . Portanto toda a reta vertical pertence ao domínio.
Em todos os casos a curva de fronteira
(ou
) NÃO pertence ao domínio, porque nela
e haveria divisão por zero.
Passo 5
Descrição geométrica e como esboçar:
- A curva de fronteira é a hipérbole rectangular
, com duas ramas (primeiro e terceiro quadrantes). Essa hipérbole é excluída do domínio. - O domínio é a região do plano onde o produto
é menor que . Essa região inclui: - todo o interior próximo à origem (por exemplo o ponto
com ); - as regiões dos 2.º e 4.º quadrantes inteiras (aqui
); - parte dos 1.º e 3.º quadrantes (ex.: em
fica a região abaixo de ; em fica a região acima de ).
- todo o interior próximo à origem (por exemplo o ponto
- No esboço: desenhar os eixos
e , desenhar a hipérbole (duas ramas), e sombrear a região que contém a origem e que satisfaz . Não sombrear a hipérbole (fronteira).
Passo 6
Verificações por pontos (para ganhar confiança e na prova você pode usar exemplos rápidos):
-
: → pertence ao domínio. -
(por exemplo mas lembre-se de escrever números em TeX) — use não é um ponto usual; melhor exemplo é confuso, então avalie : → pertence. -
: → não pertence. -
: → não pertence.
Esses exemplos confirmam a forma da região descrita.
Passo 7
Conclusão em notação precisa e final para usar na prova: