Encontre e esboce o domínio das seguintes funções:
z=\frac{1}{\sqrt{1-x y}}

Passo 1

O enunciado dá a função z=\dfrac{1}{\sqrt{1-x y}} e pede para encontrar e esboçar o domínio.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é real e depende de duas variáveis reais x e y.
  • O que se pede: o conjunto de pares ordenados (x,y) em \mathbb{R}^2 para os quais z está bem definida como número real, e um esboço desse conjunto.

Passo 2

Identificar as restrições que impedem a expressão de ser bem definida. Existem duas restrições típicas aqui:
  1. A raiz quadrada \sqrt{\cdot} só está definida (valores reais) se o radicando for maior ou igual a zero. Logo é necessário
1- x y \ge 0.
  1. O resultado da raiz aparece no denominador. Não podemos dividir por zero. Portanto o radicando não pode ser zero:
1- x y \neq 0.
Combinar 1) e 2) dá a condição comum necessária e suficiente para que z exista como número real.

Passo 3

Juntando as duas condições do passo anterior, obtemos
1- x y > 0.
Isto é, a condição para o domínio é
x y < 1.

Passo 4

Interpretar a desigualdade de forma prática (útil na prova):
  • Para x>0: ao dividir por x (positivo) obtém-se
y < \dfrac{1}{x}.
Ou seja, para abscissas positivas o ponto deve estar abaixo da curva y=\dfrac{1}{x}.
  • Para x<0: ao dividir por x (negativo) a desigualdade inverte-se:
y > \dfrac{1}{x}.
Ou seja, para abscissas negativas o ponto deve estar acima da curva y=\dfrac{1}{x}.
  • Para x=0: temos x y = 0 e 0<1 é verdadeiro para todo y. Portanto toda a reta vertical \{(0,y):y\in\mathbb{R}\} pertence ao domínio.
Em todos os casos a curva de fronteira x y=1 (ou y=\dfrac{1}{x}) NÃO pertence ao domínio, porque nela 1-xy=0 e haveria divisão por zero.

Passo 5

Descrição geométrica e como esboçar:
  • A curva de fronteira é a hipérbole rectangular y=\dfrac{1}{x}, com duas ramas (primeiro e terceiro quadrantes). Essa hipérbole é excluída do domínio.
  • O domínio é a região do plano onde o produto x y é menor que 1. Essa região inclui:
    • todo o interior próximo à origem (por exemplo o ponto (0,0) com 0<1);
    • as regiões dos 2.º e 4.º quadrantes inteiras (aqui x y\le 0 <1);
    • parte dos 1.º e 3.º quadrantes (ex.: em x>0 fica a região abaixo de y=1/x; em x<0 fica a região acima de y=1/x).
  • No esboço: desenhar os eixos x e y, desenhar a hipérbole y=1/x (duas ramas), e sombrear a região que contém a origem e que satisfaz x y<1. Não sombrear a hipérbole (fronteira).

Passo 6

Verificações por pontos (para ganhar confiança e na prova você pode usar exemplos rápidos):
  • (0,5): 0\cdot5=0<1 → pertence ao domínio.
  • (2,0,1) (por exemplo (2,0{,}1) mas lembre-se de escrever números em TeX) — use (2,0{,}1) não é um ponto usual; melhor exemplo (2,0{,}1) é confuso, então avalie (2,0{,}4): 2\cdot0{,}4=0{,}8<1 → pertence.
  • (2,1): 2\cdot1=2>1 → não pertence.
  • (-2,-1): (-2)\cdot(-1)=2>1 → não pertence.
    Esses exemplos confirmam a forma da região descrita.

Passo 7

Conclusão em notação precisa e final para usar na prova:
\text{Domínio }D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y < 1\}.í

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y < 1\}

Exercícios relacionados