Encontre o espectro de frequência do sinal
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente “encontrar o espectro de frequência” do sinal discreto
x[n] = e^{j (3π/7) n}
Conteúdo envolvido: transformada de Fourier discreta em tempo contínuo (DTFT), propriedades de distribuições (delta) e sinais exponenciais.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição da DTFT:
X(e^{jΩ}) = ∑_{n=−∞}^{∞} x[n]·e^{−jΩn} - A propriedade de série de Fourier de uma exponencial pura, que vira um trem de deltas no domínio de frequência.
Passo 2
Primeiro, observe que nosso sinal é x[n] = e^{jΩ₀ n}, com Ω₀ = 3π/7.
-
Escrevendo a definição da DTFT:
X(e^{jΩ}) = ∑_{n=−∞}^{∞} e^{jΩ₀n} · e^{−jΩn}
= ∑_{n=−∞}^{∞} e^{−j(Ω − Ω₀) n} -
Agora usamos a identidade clássica de séries de Fourier (distribuição):
∑_{n=−∞}^{∞} e^{−jα n} = 2π · ∑_{k=−∞}^{∞} δ(α + 2πk)Aqui a gente identifica α = Ω − Ω₀. Então:
∑_{n} e^{−j(Ω − Ω₀)n} = 2π · ∑_{k=−∞}^{∞} δ( (Ω − Ω₀) + 2πk )
= 2π · ∑_{k=−∞}^{∞} δ( Ω − Ω₀ + 2πk )
Passo 3
Substituindo de volta na expressão de X(e^{jΩ}):
X(e^{jΩ}) = 2π · ∑_{k=−∞}^{∞} δ( Ω − Ω₀ + 2πk ),
onde Ω₀ = 3π/7.