Encontre, se existir, a intersecção das retas
-3 x+2 y=-1, x+3 y=4 e 2 x-2 y=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, a intersecção das três retas dadas pelas equações:
-3x+2y=-1,
x+3y=4,
2x-2y=3.
Ou seja: buscar um par ordenado (x,y) que satisfaça simultaneamente as três equações. As informações relevantes são exatamente essas três equações.

Passo 2

O que significa “intersecção das retas” aqui? Significa procurar um ponto (x,y) que pertença às três retas ao mesmo tempo — portanto um par que satisfaça as três equações. Um jeito prático de fazer isso é:
  • Resolver duas das equações (duas retas) para obter um candidato (x,y),
  • Substituir esse candidato na terceira equação para ver se ela também é satisfeita.
    Se a terceira for satisfeita, então existe intersecção comum; se não, não existe ponto comum às três.
Vou começar resolvendo as duas primeiras equações:
-3x+2y=-1
x+3y=4.

Passo 3

Explicando a técnica de substituição (pequena aula): se uma das equações é escrita isolando uma variável, por exemplo x em função de y, dá para substituir essa expressão na outra equação e resolver uma equação só em y. Aqui a segunda equação é fácil de isolar em x. Da equação
x+3y=4
isolamos x:
x=4-3y.

Passo 4

Agora substituo x=4-3y na primeira equação -3x+2y=-1. Faço as contas passo a passo:
-3(4-3y)+2y=-1.
Calculando o produto e somando termos semelhantes:
-12+9y+2y=-1,
-12+11y=-1.
Isolando y:
11y=-1+12,
11y=11,
y=1.

Passo 5

Com y=1, volto à expressão x=4-3y:
x=4-3\cdot 1=4-3=1.
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto
(1,1).

Passo 6

Agora preciso verificar se esse ponto também pertence à terceira reta 2x-2y=3. Substituo x=1 e y=1:
2\cdot 1 - 2\cdot 1 = 2-2=0.
Como 0\neq 3, o ponto (1,1) NÃO satisfaz a terceira equação. Logo não existe um ponto comum às três retas (elas não são concorrentes em um mesmo ponto).

Passo 7

Para consolidar o entendimento (exemplo extra): cada par de retas ainda pode ter interseção própria, diferente das demais. Vou achar rapidamente as interseções par-a-par para ver o panorama completo.
Interseção das retas 1 e 3:
-3x+2y=-1,
2x-2y=3.
Somando as duas equações:
(-3x+2y)+(2x-2y)=-1+3 \quad\Rightarrow\quad -x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Substituindo em 2x-2y=3:
2(-2)-2y=3 \quad\Rightarrow\quad -4-2y=3 \quad\Rightarrow\quad -2y=7 \quad\Rightarrow\quad y=-\tfrac{7}{2}.
Logo interseção das retas 1 e 3: \left(-2,-\tfrac{7}{2}\right).
Interseção das retas 2 e 3:
x+3y=4,
2x-2y=3.
Multiplico a primeira por 2: 2x+6y=8. Subtraindo a segunda:
(2x+6y)-(2x-2y)=8-3 \quad\Rightarrow\quad 8y=5 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{5}{8}.
Então x=4-3y=4-3\cdot \tfrac{5}{8}=4-\tfrac{15}{8}=\tfrac{17}{8}.
Logo interseção das retas 2 e 3: \left(\tfrac{17}{8},\tfrac{5}{8}\right).
Assim as três retas se intersectam par-a-par em pontos distintos:
(1,1),\\ \left(-2,-\tfrac{7}{2}\right),\\ \left(\tfrac{17}{8},\tfrac{5}{8}\right),
mas não existe um único ponto comum às três.

Resposta

Não existe um ponto comum às três retas.
Interseções par-a-par: (1,1), \left(-2,-\tfrac{7}{2}\right), \left(\tfrac{17}{8},\tfrac{5}{8}\right).

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