Encontre, se existir, a intersecção das retas
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, a intersecção das três retas dadas pelas equações:
Ou seja: buscar um par ordenado
que satisfaça simultaneamente as três equações. As informações relevantes são exatamente essas três equações.
Passo 2
O que significa “intersecção das retas” aqui? Significa procurar um ponto
que pertença às três retas ao mesmo tempo — portanto um par que satisfaça as três equações. Um jeito prático de fazer isso é:
- Resolver duas das equações (duas retas) para obter um candidato
, - Substituir esse candidato na terceira equação para ver se ela também é satisfeita.
Se a terceira for satisfeita, então existe intersecção comum; se não, não existe ponto comum às três.
Vou começar resolvendo as duas primeiras equações:
Passo 3
Explicando a técnica de substituição (pequena aula): se uma das equações é escrita isolando uma variável, por exemplo
em função de
, dá para substituir essa expressão na outra equação e resolver uma equação só em
. Aqui a segunda equação é fácil de isolar em
. Da equação
isolamos
:
Passo 4
Agora substituo
na primeira equação
. Faço as contas passo a passo:
Calculando o produto e somando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 5
Com
, volto à expressão
:
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto
Passo 6
Agora preciso verificar se esse ponto também pertence à terceira reta
. Substituo
e
:
Como
, o ponto
NÃO satisfaz a terceira equação. Logo não existe um ponto comum às três retas (elas não são concorrentes em um mesmo ponto).
Passo 7
Para consolidar o entendimento (exemplo extra): cada par de retas ainda pode ter interseção própria, diferente das demais. Vou achar rapidamente as interseções par-a-par para ver o panorama completo.
Interseção das retas 1 e 3:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Logo interseção das retas 1 e 3:
.
Interseção das retas 2 e 3:
Multiplico a primeira por
:
. Subtraindo a segunda:
Então
.
Logo interseção das retas 2 e 3: .
Logo interseção das retas 2 e 3:
Assim as três retas se intersectam par-a-par em pontos distintos:
mas não existe um único ponto comum às três.
Resposta
Não existe um ponto comum às três retas.
Interseções par-a-par: ,
,
.
Interseções par-a-par: