Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{3}{1+9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando o método da substituição:
\int \frac{3}{1+9 x^{2}}\,dx.
Dados fornecidos:
  • A função integranda é \dfrac{3}{1+9x^{2}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3}{1+9x^{2}}.
  • O enunciado exige usar a substituição.

Passo 2

Lembrete rápido sobre o método da substituição (aula mastigada):
  • Se fizermos uma mudança de variável u=g(x), então du=g'(x)\,dx.
  • O objetivo é escolher g(x) de modo que a integral em x vire uma integral mais simples em u.
  • Após substituir u e du, integramos em u e voltamos com x substituindo u=g(x).

Passo 3

Observar a forma do denominador:
1+9x^{2}=1+(3x)^{2}.
Isso sugere escolher u igual a 3x, porque a integral \int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du é conhecida (é \arctan u). Então faço a substituição proposta:
u=3x.

Passo 4

Calcular du em função de dx:
du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Agora substituir na integral original. A integral fica:
\int \frac{3}{1+9x^{2}}\,dx = \int \frac{3}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{3}.

Passo 5

Simplificar a expressão após a substituição:
\int \frac{3}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Aqui usamos que os fatores 3 no numerador e 3 do dx se anulam.

Passo 6

Conhecimento padrão (com explicação): a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é a função arco-tangente, pois
\frac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan u + C.
Voltando para a variável x usando u=3x, obtemos
\arctan(3x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem que ajuda na prova): derivando o resultado devemos recuperar o integrando.
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\arctan(3x)\big)=\frac{1}{1+(3x)^{2}}\cdot 3 = \frac{3}{1+9x^{2}},
que é exatamente o integrando. Está tudo certo.

Resposta

\arctan(3x)+C

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