Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando o método da substituição:
Dados fornecidos:
- A função integranda é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - O enunciado exige usar a substituição.
Passo 2
Lembrete rápido sobre o método da substituição (aula mastigada):
- Se fizermos uma mudança de variável
, então . - O objetivo é escolher
de modo que a integral em vire uma integral mais simples em . - Após substituir
e , integramos em e voltamos com substituindo .
Passo 3
Observar a forma do denominador:
Isso sugere escolher
igual a
, porque a integral
é conhecida (é
). Então faço a substituição proposta:
Passo 4
Calcular
em função de
:
Agora substituir na integral original. A integral fica:
Passo 5
Simplificar a expressão após a substituição:
Aqui usamos que os fatores
no numerador e
do
se anulam.
Passo 6
Conhecimento padrão (com explicação): a primitiva de
é a função arco-tangente, pois
Portanto
Voltando para a variável
usando
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (checagem que ajuda na prova): derivando o resultado devemos recuperar o integrando.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Está tudo certo.