Encontre, se existir, a intersecção das retas
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, a intersecção comum das três retas dadas pelas equações
Informações dadas:
- Três equações lineares em duas incógnitas
e . - A pergunta é se existe um ponto
que satisfaça as três equações simultaneamente (ou seja, um ponto que pertença às três retas).
Passo 2
Estratégia escolhida (método de substituição): pegar duas das equações, resolver esse sistema de duas equações para obter um ponto candidato
e depois verificar se esse ponto satisfaz a terceira equação. Explicação do método de substituição, passo a passo: escolhe-se uma equação e isola-se uma variável (por exemplo
em função de
ou vice-versa); em seguida substitui-se essa expressão na outra equação do par, obtendo uma equação com uma única incógnita, resolve-se essa equação e volta-se à expressão isolada para achar a outra variável. Esse método é direto e muito usado em provas porque evita manipulações matriciais.
Passo 3
Vou usar as duas primeiras equações
e
Isolo
na primeira equação:
Expliquei: isolar significa passar
para o outro lado com sinal trocado.
Passo 4
Substituo
na segunda equação:
Agora desenvolvo passo a passo:
Passo a passo para isolar
: subtraio
dos dois lados:
Divido por
:
Passo 5
Agora volto para a expressão
e substituo
:
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto
Comentário intuitivo: duas retas não-paralelas em um plano sempre se cruzam em exatamente um ponto; obtivemos esse ponto para as duas primeiras.
Passo 6
Verificação com a terceira equação: a interseção comum existe somente se o ponto
também satisfizer
Substituo
e
:
Como
, o ponto
NÃO satisfaz a terceira equação. Conclusão parcial: não há interseção comum passando por esse ponto.
Passo 7
Para reforçar o entendimento, calculo as interseções pares restantes (mostra que cada par tem seu próprio ponto, todos distintos), o que confirma a ausência de um ponto comum às três:
Interseção da reta 1 com a reta 3 (equações
e
). Da segunda dessas duas isolo
:
Substituo em
:
Então
Logo interseção entre reta 1 e reta 3 é
Interseção da reta 2 com a reta 3 (equações
e
). Uso
novamente e substituo em
:
Então
Logo interseção entre reta 2 e reta 3 é
Observação: os três pontos de interseção dos pares são
todos distintos, portanto não existe um ponto que pertença às três retas simultaneamente.
Passo 8
Conclusão final: não existe ponto comum às três retas; elas são três retas que se cruzam em pares em pontos diferentes, logo não há interseção única comum.
Resposta
Não existe ponto comum às três retas.