Encontre, se existir, a intersecção das retas
2 x-3 y=-5, x+2 y=1 \mathrm{e}-3 x+y=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, a intersecção comum das três retas dadas pelas equações
2x-3y=-5,\qquad x+2y=1,\qquad -3x+y=2.
Informações dadas:
  • Três equações lineares em duas incógnitas x e y.
  • A pergunta é se existe um ponto (x,y) que satisfaça as três equações simultaneamente (ou seja, um ponto que pertença às três retas).

Passo 2

Estratégia escolhida (método de substituição): pegar duas das equações, resolver esse sistema de duas equações para obter um ponto candidato (x,y) e depois verificar se esse ponto satisfaz a terceira equação. Explicação do método de substituição, passo a passo: escolhe-se uma equação e isola-se uma variável (por exemplo x em função de y ou vice-versa); em seguida substitui-se essa expressão na outra equação do par, obtendo uma equação com uma única incógnita, resolve-se essa equação e volta-se à expressão isolada para achar a outra variável. Esse método é direto e muito usado em provas porque evita manipulações matriciais.

Passo 3

Vou usar as duas primeiras equações
x+2y=1
e
2x-3y=-5.
Isolo x na primeira equação:
x=1-2y.
Expliquei: isolar significa passar 2y para o outro lado com sinal trocado.

Passo 4

Substituo x=1-2y na segunda equação:
2(1-2y)-3y=-5.
Agora desenvolvo passo a passo:
2-4y-3y=-5,
2-7y=-5.
Passo a passo para isolar y: subtraio 2 dos dois lados:
-7y=-7.
Divido por -7:
y=1.

Passo 5

Agora volto para a expressão x=1-2y e substituo y=1:
x=1-2\cdot 1=1-2=-1.
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto
(-1,\,1).
Comentário intuitivo: duas retas não-paralelas em um plano sempre se cruzam em exatamente um ponto; obtivemos esse ponto para as duas primeiras.

Passo 6

Verificação com a terceira equação: a interseção comum existe somente se o ponto (-1,1) também satisfizer
-3x+y=2.
Substituo x=-1 e y=1:
-3(-1)+1=3+1=4.
Como 4\neq 2, o ponto (-1,1) NÃO satisfaz a terceira equação. Conclusão parcial: não há interseção comum passando por esse ponto.

Passo 7

Para reforçar o entendimento, calculo as interseções pares restantes (mostra que cada par tem seu próprio ponto, todos distintos), o que confirma a ausência de um ponto comum às três:
Interseção da reta 1 com a reta 3 (equações 2x-3y=-5 e -3x+y=2). Da segunda dessas duas isolo y:
y=2+3x.
Substituo em 2x-3y=-5:
2x-3(2+3x)=-5,
2x-6-9x=-5,
-7x-6=-5,
-7x=1,
x=-\dfrac{1}{7}.
Então
y=2+3\left(-\dfrac{1}{7}\right)=2-\dfrac{3}{7}=\dfrac{11}{7}.
Logo interseção entre reta 1 e reta 3 é
\left(-\dfrac{1}{7},\,\dfrac{11}{7}\right).
Interseção da reta 2 com a reta 3 (equações x+2y=1 e -3x+y=2). Uso y=2+3x novamente e substituo em x+2y=1:
x+2(2+3x)=1,
x+4+6x=1,
7x+4=1,
7x=-3,
x=-\dfrac{3}{7}.
Então
y=2+3\left(-\dfrac{3}{7}\right)=2-\dfrac{9}{7}=\dfrac{5}{7}.
Logo interseção entre reta 2 e reta 3 é
\left(-\dfrac{3}{7},\,\dfrac{5}{7}\right).
Observação: os três pontos de interseção dos pares são
(-1,1),\quad \left(-\dfrac{1}{7},\dfrac{11}{7}\right),\quad \left(-\dfrac{3}{7},\dfrac{5}{7}\right),
todos distintos, portanto não existe um ponto que pertença às três retas simultaneamente.

Passo 8

Conclusão final: não existe ponto comum às três retas; elas são três retas que se cruzam em pares em pontos diferentes, logo não há interseção única comum.

Resposta

Não existe ponto comum às três retas.

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