Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(a) A=\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix}3 & 5\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2, a inversa existe se e somente se o determinante for diferente de zero. Vamos usar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12}\\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix}
quando
A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 3\cdot2 \;-\;5\cdot1 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, a inversa existe.

Passo 3

Aplicando a fórmula da matriz adjunta para matrizes 2\times2, temos
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12}\\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
Logo,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A) = 1\cdot\begin{pmatrix}2 & -5\\\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -5\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.

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