Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
se A é uma matriz antissimétrica, então B^{t} A B é uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas da mesma ordem e que A é antissimétrica, ou seja,
A^{t} = -A.
Queremos mostrar que a matriz
M = B^{t} A B
também satisfaz M^{t} = -M. Para isso, usaremos as propriedades da transposta de um produto de matrizes.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer matrizes X e Y compatíveis, vale
(XY)^{t} = Y^{t} X^{t},
e estendendo a três fatores:
(XYZ)^{t} = Z^{t} Y^{t} X^{t}.
Aplicando isso a M = B^{t} A B, com X = B^{t}, Y = A e Z = B, temos
(B^{t} A B)^{t} = B^{t} A^{t} (B^{t})^{t}.

Passo 3

Como A é antissimétrica, A^{t} = -A, e sabemos também que (B^{t})^{t} = B. Substituindo essas igualdades na expressão anterior,
(B^{t} A B)^{t} = B^{t} (-A) B = -\,B^{t} A B = -M.

Passo 4

Mostramos que
M^{t} = (B^{t} A B)^{t} = -\,B^{t} A B = -M,
logo M é antissimétrica.

Resposta

B^{t} A B é uma matriz antissimétrica.

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