Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B invertível. Mostre que
\operatorname{tr}\left(B^{-1} A B\right)=\operatorname{tr}(A)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas A e B de mesma ordem e com B invertível, vale
\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}AB\bigr)=\operatorname{tr}(A).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que a traço de um produto de matrizes é invariante por troca cíclica, ou seja, \operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX). Vamos usar essa propriedade e o fato de que BB^{-1}=I.

Passo 2

Propriedade cíclica da traço: para quaisquer matrizes X e Y de ordem n, temos
\operatorname{tr}(XY)=\sum_{i=1}^{n}(XY)_{ii} =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}X_{ik}Y_{ki} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{ki}X_{ik} =\sum_{k=1}^{n}(YX)_{kk} =\operatorname{tr}(YX).
Portanto, \operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX).

Passo 3

Aplicando a propriedade com
X=B^{-1}A \quad\text{e}\quad Y=B,
obtemos
\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}AB\bigr) =\operatorname{tr}\bigl((B^{-1}A)\,B\bigr) =\operatorname{tr}\bigl(B\,(B^{-1}A)\bigr).

Passo 4

Como B\,(B^{-1}A)=(BB^{-1})A=I\,A=A, concluímos
\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}AB\bigr) =\operatorname{tr}(A).

Resposta

\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}AB\bigr)=\operatorname{tr}(A).

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