Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem e
invertível. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas
e
de mesma ordem e com
invertível, vale
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que a traço de um produto de matrizes é invariante por troca cíclica, ou seja,
. Vamos usar essa propriedade e o fato de que
.
Passo 2
Propriedade cíclica da traço: para quaisquer matrizes
e
de ordem
, temos
Portanto,
.
Passo 3
Aplicando a propriedade com
obtemos
Passo 4
Como
, concluímos