Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
O enunciado define uma função em (0,1) por partes: f(x)=0 para 0<x<1/2 e f(x)=1 para 1/2≤x<1. Precisamos construir duas extensões periódicas com período 2 no intervalo [−1,1]: uma par (só cossenos) e outra ímpar (só senos), usando séries de Fourier com L=1.
Passo 2
Para a extensão par f_e(x), impomos f_e(−x)=f_e(x). A série de Fourier em cossenos é
com
e
Passo 3
Usando que
se
é par, e vale
para
ou
, podemos deixar
Passo 4
Para a extensão ímpar f_o(x), impomos f_o(−x)=−f_o(x). A série de Fourier em senos é
com
Passo 5
Observando que
se
é ímpar e
se
é par, podemos também escrever b_n de modo simples por casos, mas em forma única fica
Resposta
Extensão par:
Extensão ímpar: