Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
0, & 0

Passo 1

O enunciado define uma função em (0,1) por partes: f(x)=0 para 0<x<1/2 e f(x)=1 para 1/2≤x<1. Precisamos construir duas extensões periódicas com período 2 no intervalo [−1,1]: uma par (só cossenos) e outra ímpar (só senos), usando séries de Fourier com L=1.

Passo 2

Para a extensão par f_e(x), impomos f_e(−x)=f_e(x). A série de Fourier em cossenos é
fe(x)=a02+sumn=1^inftyancos(npi x)
com
a0=2integral0^1f(x),dx=2integral1/2^11,dx=1
e
an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx=2integral1/2^1cos(npi x),dx=-2npisinl(npi2r)

Passo 3

Usando que sin(npi/2)=0 se n é par, e vale pm1 para n=4k+1 ou 4k+3, podemos deixar
fe(x)=12-sumn=1^infty2npisinl(npi2r)cos(npi x)

Passo 4

Para a extensão ímpar f_o(x), impomos f_o(−x)=−f_o(x). A série de Fourier em senos é
fo(x)=sumn=1^inftybnsin(npi x)
com
bn=2integral0^1f(x)sin(npi x),dx=2integral1/2^1sin(npi x),dx=2npil[cosl(npi2r)-(-1)^nr]

Passo 5

Observando que cos(npi/2)=0 se n é ímpar e =(-1)^n/2 se n é par, podemos também escrever b_n de modo simples por casos, mas em forma única fica
fo(x)=sumn=1^infty2npil[cosl(npi2r)-(-1)^nr]sin(npi x)

Resposta

Extensão par:
fe(x)=12-sumn=1^infty2npisinl(npi2r)cos(npi x)
Extensão ímpar:
fo(x)=sumn=1^infty2npil[cosl(npi2r)-(-1)^nr]sin(npi x)

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