Encontre uma expressão para C_{s}, que define o máximo valor de velocidade específica de crescimento (\mu) para o modelo de Andrews (inibição por substrato).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos como informação:
  • Pede-se uma expressão para C_{s} (concentração de substrato) que corresponde ao valor de substrato em que a velocidade específica de crescimento \mu atinge seu máximo no modelo de Andrews (inibição por substrato).
  • Vou usar a forma padrão do modelo de Andrews (modelo de inibição por substrato), cujo enunciado normalmente fornece ou aceita como:
\mu(S)=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}}.
  • Aqui os parâmetros significativos são:
    • \mu_{\max}: velocidade específica máxima intrínseca (constante positiva).
    • K_S: constante de semi-saturação (constante positiva).
    • K_I: constante de inibição por substrato (constante positiva).
    • S: concentração de substrato (a variável que iremos chamar de C_{s}).
  • Pergunta explícita: encontrar C_{s} tal que \mu(S) seja máximo.

Passo 2

Entendimento do objetivo matemático e estratégia (sem resolver ainda):
  • Para achar o valor de S que maximiza \mu(S) (ou \mu_{\max} vezes uma função de S), procuramos pontos críticos da função \mu(S) tomando a derivada em relação a S e igualando a zero.
  • Justificativa rápida: pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos; no contexto físico do modelo, \mu(S)\to 0 quando S\to 0 e também \mu(S)\to 0 quando S\to\infty (a inibição domina), então o ponto crítico interno deve ser um máximo. Depois podemos checar sinal da derivada ou comportamento da função para confirmar que é máximo.

Passo 3

Escrever a função que vamos derivar e simplificar notação:
  • Identificamos S=C_{s}. Para facilitar a derivação define-se a função sem o fator \mu_{\max}:
f(S)=\frac{S}{K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}}.
  • Então \mu(S)=\mu_{\max}\,f(S). Como \mu_{\max}>0, maximizar \mu(S) é equivalente a maximizar f(S).

Passo 4

Derivar f(S) usando a regra do quociente (explicando a regra):
  • Regra do quociente: se f(S)=\dfrac{u(S)}{v(S)} então
f'(S)=\frac{u'(S)\,v(S)-u(S)\,v'(S)}{[v(S)]^2}.
  • Aqui u(S)=S e v(S)=K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}.
  • Calculando as derivadas:
    • u'(S)=1.
    • v'(S)=1+\dfrac{2S}{K_I}.
  • Aplicando a regra:
f'(S)=\frac{1\cdot\left(K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}\right)-S\cdot\left(1+\dfrac{2S}{K_I}\right)}{\left(K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}\right)^2}.

Passo 5

Simplificar o numerador da derivada e encontrar ponto crítico:
  • Trabalhando apenas com o numerador N(S) porque o denominador é sempre positivo para S\ge 0:
N(S)=K_S+S+\dfrac{S^2}{K_I}-S-\dfrac{2S^2}{K_I}.
  • Cancelando os termos +S e -S e combinando os termos em S^2:
N(S)=K_S+\left(\dfrac{S^2}{K_I}-\dfrac{2S^2}{K_I}\right)=K_S-\dfrac{S^2}{K_I}.
  • Igualando à zero para obter pontos críticos:
K_S-\dfrac{S^2}{K_I}=0.
  • Isolando S^2:
S^2=K_S\,K_I.

Passo 6

Escolher a raiz física (positiva) e comentar interpretação:
  • Como S é concentração, consideramos a raiz positiva:
S=\sqrt{K_S\,K_I}.
  • Conclusão física: a concentração de substrato que maximiza a velocidade específica de crescimento no modelo de Andrews é a raiz quadrada do produto entre a constante de semi-saturação K_S e a constante de inibição K_I. Isso faz sentido qualitativo: se K_I é grande (inibição fraca), o C_{s} ótimo cresce; se K_S cresce (mais substrato necessário para saturação), o C_{s} ótimo também cresce.

Passo 7

Comentário rápido sobre confirmação de máximo (como checar em prova):
  • Pode-se verificar que este ponto é máximo observando que \mu(0)=0 e \lim_{S\to\infty}\mu(S)=0, e que a derivada muda de positiva para negativa ao atravessar S=\sqrt{K_S K_I}. Alternativamente, avaliar a segunda derivada em S=\sqrt{K_SK_I} e verificar que é negativa (opcional em prova).

Resposta

C_{s}=\sqrt{K_{S}\,K_{I}}

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