Encontre uma expressão para
, que define o máximo valor de velocidade específica de crescimento
para o modelo de Andrews (inibição por substrato).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos como informação:
- Pede-se uma expressão para
(concentração de substrato) que corresponde ao valor de substrato em que a velocidade específica de crescimento atinge seu máximo no modelo de Andrews (inibição por substrato). - Vou usar a forma padrão do modelo de Andrews (modelo de inibição por substrato), cujo enunciado normalmente fornece ou aceita como:
- Aqui os parâmetros significativos são:
-
: velocidade específica máxima intrínseca (constante positiva). -
: constante de semi-saturação (constante positiva). -
: constante de inibição por substrato (constante positiva). -
: concentração de substrato (a variável que iremos chamar de ).
-
- Pergunta explícita: encontrar
tal que seja máximo.
Passo 2
Entendimento do objetivo matemático e estratégia (sem resolver ainda):
- Para achar o valor de
que maximiza (ou vezes uma função de ), procuramos pontos críticos da função tomando a derivada em relação a e igualando a zero. - Justificativa rápida: pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos; no contexto físico do modelo,
quando e também quando (a inibição domina), então o ponto crítico interno deve ser um máximo. Depois podemos checar sinal da derivada ou comportamento da função para confirmar que é máximo.
Passo 3
Escrever a função que vamos derivar e simplificar notação:
- Identificamos
. Para facilitar a derivação define-se a função sem o fator :
- Então
. Como , maximizar é equivalente a maximizar .
Passo 4
Derivar
usando a regra do quociente (explicando a regra):
- Regra do quociente: se
então
- Aqui
e . - Calculando as derivadas:
-
. -
.
-
- Aplicando a regra:
Passo 5
Simplificar o numerador da derivada e encontrar ponto crítico:
- Trabalhando apenas com o numerador
porque o denominador é sempre positivo para :
- Cancelando os termos
e e combinando os termos em :
- Igualando à zero para obter pontos críticos:
- Isolando
:
Passo 6
Escolher a raiz física (positiva) e comentar interpretação:
- Como
é concentração, consideramos a raiz positiva:
- Conclusão física: a concentração de substrato que maximiza a velocidade específica de crescimento no modelo de Andrews é a raiz quadrada do produto entre a constante de semi-saturação
e a constante de inibição . Isso faz sentido qualitativo: se é grande (inibição fraca), o ótimo cresce; se cresce (mais substrato necessário para saturação), o ótimo também cresce.
Passo 7
Comentário rápido sobre confirmação de máximo (como checar em prova):
- Pode-se verificar que este ponto é máximo observando que
e , e que a derivada muda de positiva para negativa ao atravessar . Alternativamente, avaliar a segunda derivada em e verificar que é negativa (opcional em prova).