Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por :
.
Passo 1
O enunciado fornece a parametrização
com
e
. O que nos pedem:
- encontrar uma expressão cartesiana (ou seja, uma equação em
que descreva a mesma superfície); 2) esboçar/descrever geometricamente a superfície obtida.
Informações relevantes dadas: as coordenadas paramétricase a condição .
Passo 2
Primeiro passo prático: relacionar
com
. Usando as duas primeiras componentes, calculemos
. Isso é útil porque
. Assim,
Aqui eu usei a identidade trigonométrica básica
e a propriedade de quadrado distributivo. Isso nos dá uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Da igualdade
isolamos
. Como foi dado que
, tomamos a raiz positiva:
Explanação didática: em coordenadas polares o raio
corresponde a
, e
. A condição
garante escolher a raiz positiva, então não há ambiguidade.
Passo 4
Agora substituímos
na coordenada
. Usando
obtemos a expressão cartesiana:
Domínio: como
, temos
— o ponto na origem não está na superfície. Também
para todos os pontos da superfície.
Passo 5
Interpretação geométrica por fatias (muito útil para esboçar): se fixamos
constante (isto é, fixamos o raio), a parametrização dá
ou seja, para esse
obtemos uma circunferência de raio
no plano horizontal
. Portanto a superfície é a união de todas essas circunferências horizontais quando
varia em
. Em outras palavras, é uma superfície de revolução em torno do eixo
gerada pela curva no plano radial
dada por
, com
.
Passo 6
Comportamento e assíntotas (isso ajuda muito no esboço): tome
.
- Quando
temos . Ou seja, a superfície “explode” para infinito perto do eixo — não há ponto definido na origem. - Quando
temos . Portanto a superfície se aproxima da placa (plano ) por cima, sendo uma assíntota horizontal.
Exemplos concretos para fixar a intuição: para(ou seja ) há uma circunferência de raio em ; para há uma circunferência de raio em .
Passo 7
Se quisermos esboçar: desenhe o plano
(onde
representa a distância radial ao eixo) e trace a curva
para
. Essa curva desce rapidamente: muito alta perto de
e próxima de
para
grande. Agora imagine rodar essa curva em torno do eixo
— obtemos a superfície procurada. Visualmente: um “funil” bem afiado perto do eixo que vai abrindo e tendendo ao plano
quando nos afastamos do eixo.
Passo 8
Observações finais úteis para prova:
- A eliminação do parâmetro foi direta e típica de parametrizações polares: somar quadrados para obter
. - Sempre verificar domínio: aqui
implica excluir . - Para traçar seções: a intersecção com planos que contenham o eixo (por exemplo plano
) dá a curva (com ), o que confirma a simetria radial.
Resposta
Superfície de revolução em torno do eixo
, gerada pela curva
em coordenadas polares (
): tem singularidade vertical quando
(
) e aproxima-se do plano
quando
.