Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por :
\sigma(u, v)=\left(v \cos u, v \sin u, \frac{1}{v^{2}}\right), 0 \leq u \leq 2 \pi, v>0.

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização
\sigma(u,v)=\big(v\cos u,\; v\sin u,\; \tfrac{1}{v^{2}}\big)
com 0\le u\le 2\pi e v>0. O que nos pedem:
  1. encontrar uma expressão cartesiana (ou seja, uma equação em x,y,z que descreva a mesma superfície); 2) esboçar/descrever geometricamente a superfície obtida.
    Informações relevantes dadas: as coordenadas paramétricas \,x=v\cos u,\; y=v\sin u,\; z=1/v^{2}\, e a condição v>0.

Passo 2

Primeiro passo prático: relacionar x,y com v. Usando as duas primeiras componentes, calculemos x^{2}+y^{2}. Isso é útil porque \cos^{2}u+\sin^{2}u=1. Assim,
x^{2}+y^{2}=(v\cos u)^{2}+(v\sin u)^{2}=v^{2}(\cos^{2}u+\sin^{2}u)=v^{2}.
Aqui eu usei a identidade trigonométrica básica \cos^{2}u+\sin^{2}u=1 e a propriedade de quadrado distributivo. Isso nos dá uma relação direta entre v e x,y.

Passo 3

Da igualdade \,x^{2}+y^{2}=v^{2}\, isolamos v. Como foi dado que v>0, tomamos a raiz positiva:
v=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explanação didática: em coordenadas polares o raio r corresponde a v, e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A condição v>0 garante escolher a raiz positiva, então não há ambiguidade.

Passo 4

Agora substituímos v na coordenada z=\tfrac{1}{v^{2}}. Usando \,v^{2}=x^{2}+y^{2}\, obtemos a expressão cartesiana:
z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
Domínio: como v>0, temos (x,y)\neq(0,0) — o ponto na origem não está na superfície. Também z>0 para todos os pontos da superfície.

Passo 5

Interpretação geométrica por fatias (muito útil para esboçar): se fixamos v= constante (isto é, fixamos o raio), a parametrização dá
(x,y,z)=(v\cos u,\,v\sin u,\,1/v^{2}),
ou seja, para esse v obtemos uma circunferência de raio v no plano horizontal z=1/v^{2}. Portanto a superfície é a união de todas essas circunferências horizontais quando v varia em (0,\infty). Em outras palavras, é uma superfície de revolução em torno do eixo z gerada pela curva no plano radial (r,z) dada por z=1/r^{2}, com r>0.

Passo 6

Comportamento e assíntotas (isso ajuda muito no esboço): tome r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Quando r\to 0^{+} temos z=\dfrac{1}{r^{2}}\to +\infty. Ou seja, a superfície “explode” para infinito perto do eixo z — não há ponto definido na origem.
  • Quando r\to +\infty temos z=\dfrac{1}{r^{2}}\to 0^{+}. Portanto a superfície se aproxima da placa z=0 (plano xy) por cima, sendo z=0 uma assíntota horizontal.
    Exemplos concretos para fixar a intuição: para v=1 (ou seja r=1) há uma circunferência de raio 1 em z=1; para v=2 há uma circunferência de raio 2 em z=\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Se quisermos esboçar: desenhe o plano rz (onde r\ge0 representa a distância radial ao eixo) e trace a curva z=1/r^{2} para r>0. Essa curva desce rapidamente: muito alta perto de r=0 e próxima de 0 para r grande. Agora imagine rodar essa curva em torno do eixo z — obtemos a superfície procurada. Visualmente: um “funil” bem afiado perto do eixo que vai abrindo e tendendo ao plano z=0 quando nos afastamos do eixo.

Passo 8

Observações finais úteis para prova:
  • A eliminação do parâmetro foi direta e típica de parametrizações polares: somar quadrados para obter v^{2}.
  • Sempre verificar domínio: aqui v>0 implica excluir (x,y)=(0,0).
  • Para traçar seções: a intersecção com planos que contenham o eixo (por exemplo plano y=0) dá a curva z=1/x^{2} (com x\neq0), o que confirma a simetria radial.

Resposta

z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
Superfície de revolução em torno do eixo z, gerada pela curva z=1/r^{2} em coordenadas polares ( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0): tem singularidade vertical quando r\to0^{+} ( z\to+\infty) e aproxima-se do plano z=0 quando r\to+\infty.

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