\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x}.
Informações dadas: a expressão é uma potência com base \frac{2x+3}{2x+1} e expoente x, e a variável x tende a +\infty. Queremos encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos simplificar a base da potência para ver uma forma do tipo 1+\text{coisa pequena}. Note que
2x+3=(2x+1)+2,
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\frac{2x+3}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}.
Portanto a expressão do limite pode ser escrita como
\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^{x}.

Passo 3

Uma técnica habitual para limites de potências é tomar o logaritmo natural e depois exponenciar no final. Defina
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^{x}.
Então
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{2x+1}\right).
Para analisar esse limite, faça a substituição
u=\frac{2}{2x+1},
que tende a 0 quando x\to+\infty. Reescrevendo,
\ln L=\lim_{u\to0} \frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\bigl(x\cdot u\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos as duas partes do produto.
Primeiro, o limite
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}
é conhecido e pode ser calculado por Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{u\to0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u}=\lim_{u\to0}\frac{1}{1+u}=1.
Logo \frac{\ln(1+u)}{u}\to1.
Segundo, calcule x\cdot u em função de x:
x\cdot u = x\cdot\frac{2}{2x+1}=\frac{2x}{2x+1}.
Quando x\to+\infty temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{2x+1}=1.
Portanto o produto tende a 1\cdot 1=1. Assim
\ln L = 1.

Passo 5

Como \ln L=1, exponenciando obtemos L=e^{1}=e. Logo o limite pedido é e. Você pode lembrar: isso é um caso do tipo \left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{n}\to e^{a} (aqui, de forma contínua, com a=1).

Resposta

e

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