Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Não se resolve nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Fazemos uma substituição simples para deixar a forma mais padrão. Defina
Quando
temos
. Agora reescrevemos a expressão em termos de
.
Passo 3
Reescrevendo o quociente com
:
Simplificando a fração do denominador:
logo
Portanto
Passo 4
Agora precisamos calcular
.
Observe que quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, ou seja, temos uma indeterminação do tipo
. Uma maneira básica e rigorosa de resolver essa indeterminação é aplicar a Regra de l’Hôpital, que diz que se temos
com
e
diferenciáveis perto de
e
, então
Observe que quando
(se o limite à direita existir).
Passo 5
Aplicando l’Hôpital com
e
:
Logo
Passo 6
Voltando à expressão obtida no Passo 3:
Passo 7
Observação didática rápida (para a prova): uma forma ainda mais direta que costuma aparecer é lembrar a aproximação fundamental
ou seja,
. Com essa regra você faz o cálculo de forma muito rápida sem l’Hôpital: basta substituir e obter
. Estou torcendo por você — você consegue aplicar esse tipo de simplificação na prova!