\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+2 x)}{3 x}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{3x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \ln(1+2x).
  • O denominador é 3x.
  • O ponto de interesse é x \to 0.
    Não se resolve nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Fazemos uma substituição simples para deixar a forma mais padrão. Defina
u = 2x.
Quando x \to 0 temos u \to 0. Agora reescrevemos a expressão em termos de u.

Passo 3

Reescrevendo o quociente com u:
\frac{\ln(1+2x)}{3x} = \frac{\ln(1+u)}{3 \cdot (u/2)}.
Simplificando a fração do denominador:
3\cdot\frac{u}{2} = \frac{3u}{2},
logo
\frac{\ln(1+u)}{3(u/2)} = \frac{\ln(1+u)}{\frac{3u}{2}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x} = \frac{2}{3}\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Observe que quando u\to 0 tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Uma maneira básica e rigorosa de resolver essa indeterminação é aplicar a Regra de l’Hôpital, que diz que se temos \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{f(u)}{g(u)} com f(0)=g(0)=0 e f,g diferenciáveis perto de 0 e g'(u)\neq 0, então
\lim_{u\to 0}\frac{f(u)}{g(u)} = \lim_{u\to 0}\frac{f'(u)}{g'(u)}
(se o limite à direita existir).

Passo 5

Aplicando l’Hôpital com f(u)=\ln(1+u) e g(u)=u:
f'(u) = \frac{1}{1+u}, \qquad g'(u)=1.
Logo
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u\to 0}\frac{1/(1+u)}{1} = \frac{1}{1+0} = 1.

Passo 6

Voltando à expressão obtida no Passo 3:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x} = \frac{2}{3}\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u} = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}.

Passo 7

Observação didática rápida (para a prova): uma forma ainda mais direta que costuma aparecer é lembrar a aproximação fundamental
\ln(1+u)\sim u\quad (u\to 0),
ou seja, \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Com essa regra você faz o cálculo de forma muito rápida sem l’Hôpital: basta substituir e obter \frac{2}{3}. Estou torcendo por você — você consegue aplicar esse tipo de simplificação na prova!

Resposta

\dfrac{2}{3}

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