Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: encontrar uma expressão para o
-ésimo termo desta sequência (ou seja, uma fórmula que produz o termo geral quando se fornece
).\n
Informações dadas (explicitamente observáveis nos termos listados):
Informações dadas (explicitamente observáveis nos termos listados):
- Termo 1:
. - Termo 2:
. - Termo 3:
. - Termo 4:
. - Termo 5:
.
Passo 2
Vamos separar numeradores e denominadores para ver padrões. Escrevendo cada termo como uma fração (o primeiro como
para compararmos):
Então:
- Numeradores:
- Denominadores:
Percebe-se que ambos são progressões aritméticas (sequências em que cada termo aumenta sempre pela mesma diferença). Vou explicar a fórmula geral de uma progressão aritmética para usarmos agora.
Passo 3
A fórmula geral de uma progressão aritmética é: se a sequência tem primeiro termo
e diferença comum
, então o
-ésimo termo é
Aqui cada símbolo significa:
-
: o -ésimo termo da sequência (o que queremos calcular); -
: o primeiro termo conhecido; -
: a diferença constante entre termos; -
: índice do termo (inteiro positivo).
Usamos essa fórmula separadamente para numeradores e denominadores.
Passo 4
Numeradores: a sequência é
. Então
e
. Aplicando
Portanto o numerador do
-ésimo termo é
.
Passo 5
Denominadores: a sequência é
. Então
e
. Aplicando
Portanto o denominador do
-ésimo termo é
.
Passo 6
Juntando numerador e denominador obtém-se a fórmula para o termo geral:
Vale conferir com os primeiros termos:
-
. -
. -
.
Confere com a lista dada.\n
Observação rápida: para qualquer inteiroo denominador é ímpar e diferente de zero, então a fórmula é bem definida para todos os naturais positivos.