Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
2, \frac{3}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{7}, \frac{6}{9}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
2,\\ \frac{3}{3},\\ \frac{4}{5},\\ \frac{5}{7},\\ \frac{6}{9},\ldots
e pede: encontrar uma expressão para o n-ésimo termo desta sequência (ou seja, uma fórmula que produz o termo geral quando se fornece n).\n
Informações dadas (explicitamente observáveis nos termos listados):
  • Termo 1: 2.
  • Termo 2: \dfrac{3}{3}.
  • Termo 3: \dfrac{4}{5}.
  • Termo 4: \dfrac{5}{7}.
  • Termo 5: \dfrac{6}{9}.

Passo 2

Vamos separar numeradores e denominadores para ver padrões. Escrevendo cada termo como uma fração (o primeiro como \dfrac{2}{1} para compararmos):
\frac{2}{1},\\ \frac{3}{3},\\ \frac{4}{5},\\ \frac{5}{7},\\ \frac{6}{9},\ldots
Então:
  • Numeradores: 2,3,4,5,6,\ldots
  • Denominadores: 1,3,5,7,9,\ldots
Percebe-se que ambos são progressões aritméticas (sequências em que cada termo aumenta sempre pela mesma diferença). Vou explicar a fórmula geral de uma progressão aritmética para usarmos agora.

Passo 3

A fórmula geral de uma progressão aritmética é: se a sequência tem primeiro termo a_1 e diferença comum d, então o n-ésimo termo é
a_n = a_1 + (n-1)d.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_n: o n-ésimo termo da sequência (o que queremos calcular);
  • a_1: o primeiro termo conhecido;
  • d: a diferença constante entre termos;
  • n: índice do termo (inteiro positivo).
Usamos essa fórmula separadamente para numeradores e denominadores.

Passo 4

Numeradores: a sequência é 2,3,4,5,6,\ldots. Então a_1=2 e d=1. Aplicando
\text{numerador}_n = 2 + (n-1)\cdot 1 = 2 + n - 1 = n+1.
Portanto o numerador do n-ésimo termo é \,n+1.

Passo 5

Denominadores: a sequência é 1,3,5,7,9,\ldots. Então a_1=1 e d=2. Aplicando
\text{denominador}_n = 1 + (n-1)\cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1.
Portanto o denominador do n-ésimo termo é \,2n-1.

Passo 6

Juntando numerador e denominador obtém-se a fórmula para o termo geral:
a_n = \frac{n+1}{2n-1}.
Vale conferir com os primeiros termos:
  • n=1:\\ \dfrac{1+1}{2\cdot1-1}=\dfrac{2}{1}=2.
  • n=2:\\ \dfrac{2+1}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1.
  • n=3:\\ \dfrac{3+1}{6-1}=\dfrac{4}{5}.
    Confere com a lista dada.\n
    Observação rápida: para qualquer inteiro n\ge 1 o denominador 2n-1 é ímpar e diferente de zero, então a fórmula é bem definida para todos os n naturais positivos.

Resposta

a_n=\frac{n+1}{2n-1}

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