Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
1+\frac{1}{2}, 1+\frac{3}{4}, 1+\frac{7}{8}, 1+\frac{15}{16}, 1+\frac{31}{32}, \cdots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1+\dfrac{1}{2},\;1+\dfrac{3}{4},\;1+\dfrac{7}{8},\;1+\dfrac{15}{16},\;1+\dfrac{31}{32},\;\ldots
e pede uma expressão para o termo de ordem n.\n
Informações relevantes observadas nas parcelas:
  • Numeradores das frações: 1,3,7,15,31,\ldots.\n
  • Denominadores das frações: 2,4,8,16,32,\ldots.\n
    Também é importante definir a indexação: aqui vamos tomar n=1 para o primeiro termo 1+\dfrac{1}{2}.

Passo 2

Identificar padrões simples nas duas sequências (numeradores e denominadores).\n
  • Os denominadores são potências de dois: o k-ésimo denominador é 2^{k}. Como o primeiro denominador é 2 quando n=1, para o termo de posição n o denominador é 2^{n}.\n
  • Os numeradores 1,3,7,15,31,\ldots são todos um a menos que uma potência de dois: 1=2^{1}-1,\;3=2^{2}-1,\;7=2^{3}-1, etc. Portanto o numerador do termo de posição n é 2^{n}-1.\n
    Conclusão parcial: a parte fracionária do termo na posição n é \dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}.

Passo 3

Escrever o termo geral usando o que achamos.\n
O n-ésimo termo pode ser escrito como
a_{n}=1+\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}.
Aqui a_{n} indica "o termo de ordem n" e 2^{n} significa multiplicar 2 por si mesmo n vezes (por exemplo 2^{3}=8).\n
Esta é já uma expressão válida e direta a partir do padrão observado.

Passo 4

Simplificar a expressão para uma forma mais compacta, mostrando passo a passo o cálculo algébrico.\n
Começo com a fração:
\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n}}-\dfrac{1}{2^{n}}=1-\dfrac{1}{2^{n}}.
Agora substituo na definição de a_{n}:
a_{n}=1+\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)=2-\dfrac{1}{2^{n}}.
Portanto a forma simplificada é a_{n}=2-2^{-n}, onde 2^{-n} é apenas a maneira curta de escrever \dfrac{1}{2^{n}}.

Passo 5

Verificação rápida em termos pequenos para ganhar confiança (teste dos primeiros termos).\n
  • Para n=1: a_{1}=2-2^{-1}=2-\dfrac{1}{2}=1+\dfrac{1}{2} (confere).\n
  • Para n=2: a_{2}=2-2^{-2}=2-\dfrac{1}{4}=1+\dfrac{3}{4} (confere).\n
  • Para n=3: a_{3}=2-2^{-3}=2-\dfrac{1}{8}=1+\dfrac{7}{8} (confere).\n
    Os três primeiros termos batem com a sequência dada, então a fórmula está correta.

Resposta

a_{n}=1+\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\n
a_{n}=2-\dfrac{1}{2^{n}}

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