Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede uma expressão para o termo de ordem .\n
Informações relevantes observadas nas parcelas:
e pede uma expressão para o termo de ordem
Informações relevantes observadas nas parcelas:
- Numeradores das frações:
.\n - Denominadores das frações:
.\n
Também é importante definir a indexação: aqui vamos tomarpara o primeiro termo .
Passo 2
Identificar padrões simples nas duas sequências (numeradores e denominadores).\n
- Os denominadores são potências de dois: o
-ésimo denominador é . Como o primeiro denominador é quando , para o termo de posição o denominador é .\n - Os numeradores
são todos um a menos que uma potência de dois: etc. Portanto o numerador do termo de posição é .\n
Conclusão parcial: a parte fracionária do termo na posiçãoé .
Passo 3
Escrever o termo geral usando o que achamos.\n
O -ésimo termo pode ser escrito como
O
Aqui
indica "o termo de ordem
" e
significa multiplicar
por si mesmo
vezes (por exemplo
).\n
Esta é já uma expressão válida e direta a partir do padrão observado.
Esta é já uma expressão válida e direta a partir do padrão observado.
Passo 4
Simplificar a expressão para uma forma mais compacta, mostrando passo a passo o cálculo algébrico.\n
Começo com a fração:
Começo com a fração:
Agora substituo na definição de
:
Portanto a forma simplificada é
, onde
é apenas a maneira curta de escrever
.
Passo 5
Verificação rápida em termos pequenos para ganhar confiança (teste dos primeiros termos).\n
- Para
: (confere).\n - Para
: (confere).\n - Para
: (confere).\n
Os três primeiros termos batem com a sequência dada, então a fórmula está correta.