Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{8}{81}, \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de termos (peguei estes números do enunciado):
\frac{1}{2},\\ \frac{1}{3},\\ \frac{2}{9},\\ \frac{4}{27},\\ \frac{8}{81},\ldots
O que é pedido: encontrar uma expressão para o n-ésimo termo dessa sequência, ou seja, uma fórmula que dê o termo a_n em função de n.

Passo 2

Observar os quocientes entre termos consecutivos para ver um padrão:
\frac{a_2}{a_1}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{3},\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{\tfrac{2}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{3},\qquad \frac{a_4}{a_3}=\frac{\tfrac{4}{27}}{\tfrac{2}{9}}=\frac{2}{3}.
Como o quociente entre termos sucessivos é sempre \dfrac{2}{3}, a sequência é uma progressão geométrica (PG) com razão r=\dfrac{2}{3}.

Passo 3

Relembrando a fórmula geral de uma progressão geométrica: se a_1 é o primeiro termo e r a razão, então o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_n: o n-ésimo termo que queremos;
  • a_1: o primeiro termo da sequência;
  • r: a razão (multiplicador entre termos consecutivos);
  • n: índice do termo (começando em n=1 para o primeiro termo).

Passo 4

Identificar a_1 e r no nosso caso:
a_1=\frac{1}{2},\qquad r=\frac{2}{3}.
Substituindo na fórmula da PG:
a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-1}.

Passo 5

Mostrar uma forma alternativa equivalente, manipulando algebricamente:
a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{\,n-1}}{3^{\,n-1}} = \frac{2^{\,n-1}}{2\cdot 3^{\,n-1}} = \frac{2^{\,n-2}}{3^{\,n-1}}.
Ambas as expressões são equivalentes e corretas.

Passo 6

Verificação rápida com alguns n:
n=1:\\ a_1=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}=\frac{1}{2}.
n=2:\\ a_2=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}.
n=3:\\ a_3=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}.
Confere com os termos dados — ótimo!

Passo 7

Dica para a prova (amigo falando sério e simpático): sempre que desconfiar de uma PG, divida termos consecutivos; se o quociente for constante, use a_n=a_1 r^{n-1}. Mantém a calma — você já tem a técnica para resolver isso rapidinho.

Resposta

a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-1}
\text{ou}\qquad a_n=\frac{2^{\,n-2}}{3^{\,n-1}}

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