Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e ver onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da tangente é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos relativos.
Calculemos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos relativos.
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então, as soluções são:
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada da função
. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade do gráfico e a confirmar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Passo 5
Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos encontrados.
- Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo relativo em
.
- Para
:
Como
, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que temos um máximo relativo em
.
Passo 6
Vamos agora encontrar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
-
Côncavo para cima: Quando
. Portanto, o gráfico é côncavo para cima quando. -
Côncavo para baixo: Quando
. Portanto, o gráfico é côncavo para baixo quando.
Passo 8
Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações obtidas:
-
Extremos relativos:
- Mínimo relativo em
. - Máximo relativo em
.
- Mínimo relativo em
-
Ponto de inflexão:
- Em
.
- Em
-
Concavidade:
- Côncavo para cima quando
. - Côncavo para baixo quando
.
- Côncavo para cima quando
O esboço mostrará uma curva cúbica com esses comportamentos, passando pelos extremos e pelo ponto de inflexão conforme descrito.
Resposta
Os extremos relativos da função
são um mínimo relativo em
e um máximo relativo em
. A função possui um ponto de inflexão em
, sendo côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.