Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(a) f(x) = x^3 + 5 x^2 + 3 x - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e ver onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da tangente é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos relativos.
Calculemos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo . Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos relativos.
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Então, as soluções são:
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada da função . A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade do gráfico e a confirmar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Passo 5

Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos encontrados.
  1. Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo relativo em .
  1. Para :
Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que temos um máximo relativo em .

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
  • Côncavo para cima: Quando .
    Portanto, o gráfico é côncavo para cima quando .
  • Côncavo para baixo: Quando .
    Portanto, o gráfico é côncavo para baixo quando .

Passo 8

Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações obtidas:
  • Extremos relativos:
    • Mínimo relativo em .
    • Máximo relativo em .
  • Ponto de inflexão:
    • Em .
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima quando .
    • Côncavo para baixo quando .
O esboço mostrará uma curva cúbica com esses comportamentos, passando pelos extremos e pelo ponto de inflexão conforme descrito.

Resposta

Os extremos relativos da função são um mínimo relativo em e um máximo relativo em . A função possui um ponto de inflexão em , sendo côncava para cima quando e côncava para baixo quando . O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.

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