Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo: (d) f(x) = x * e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada, e se não der, usar o teste da primeira derivada. Também vamos identificar os pontos de inflexão e descobrir onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então,
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde ou onde não existe. Como a função nunca é zero e está definida para todo , basta resolver:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda derivada para verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada.
A primeira derivada era:
Vamos derivar isso novamente:
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é negativa no ponto , isso indica que temos um máximo relativo nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou não está definida.
Temos:
Igualando a zero:
Como para todo , temos:
Então, existe um ponto de inflexão em .
Agora, vamos determinar a concavidade:
  • Para , digamos :
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
  • Para , digamos :
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.

Resposta

  • Extremo relativo: A função tem um máximo relativo em .
  • Ponto de inflexão: Há um ponto de inflexão em .
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo no intervalo .
    • Côncava para cima no intervalo .
  • Esboço do gráfico:
    • O gráfico atinge seu ponto máximo em .
    • Mudança de concavidade em .
    • Para tendendo a , cresce negativamente.
    • Para tendendo a , aproxima-se de zero.
Esboço do gráfico de f(x) = x e^{-x}
(Nota: Insira o gráfico conforme calculado com base nas informações acima.)

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