Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo: (d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da segunda derivada, e se não der, usar o teste da primeira derivada. Também vamos identificar os pontos de inflexão e descobrir onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então,
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
ou onde
não existe. Como a função
nunca é zero e está definida para todo
, basta resolver:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda derivada para verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada.
A primeira derivada era:
Vamos derivar isso novamente:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é negativa no ponto
, isso indica que temos um máximo relativo nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou não está definida.
Temos:
Igualando a zero:
Como
para todo
, temos:
Então, existe um ponto de inflexão em
.
Agora, vamos determinar a concavidade:
- Para
, digamos :
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
- Para
, digamos :
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
Resposta
-
Extremo relativo: A função
tem um máximo relativo em . -
Ponto de inflexão: Há um ponto de inflexão em
. -
Concavidade:
- Côncava para baixo no intervalo
. - Côncava para cima no intervalo
.
- Côncava para baixo no intervalo
-
Esboço do gráfico:
- O gráfico atinge seu ponto máximo em
. - Mudança de concavidade em
. - Para
tendendo a , cresce negativamente. - Para
tendendo a , aproxima-se de zero.
- O gráfico atinge seu ponto máximo em

(Nota: Insira o gráfico conforme calculado com base nas informações acima.)