Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos locais) da função
usando o teste da derivada primeira e o teste da derivada segunda.
Informações dadas: a expressão da função é .
O que precisamos devolver: os pontos críticos e, para cada um, dizer se é máximo local, mínimo local ou nenhum, justificando pelos dois testes (derivada primeira e derivada segunda) e apresentar os valores de nesses pontos.
Informações dadas: a expressão da função é
O que precisamos devolver: os pontos críticos e, para cada um, dizer se é máximo local, mínimo local ou nenhum, justificando pelos dois testes (derivada primeira e derivada segunda) e apresentar os valores de
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
. Para isso usamos a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui tomamos
e
. Calculamos
e
:
Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Como
, temos
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Simplificamos
fatorando
, que é sempre positivo (ou seja, nunca zero):
Fatorando ainda
:
Como
para todo
, os zeros de
vêm dos fatores
e
. Logo, os pontos críticos são as soluções de
:
Passo 4
Interpretação do teste da derivada primeira: se
muda de sinal de negativo para positivo em um ponto crítico então há mínimo local; se muda de positivo para negativo então há máximo local; se não muda de sinal, não há extremo local. Vamos estudar o sinal de
. Como
, o sinal é o mesmo de
.
Analise dos intervalos:
- Para
: temos e , portanto . Logo para . - Para
: temos e , portanto . Logo em . - Para
: temos e , logo . Assim para .
Com isso vemos:
- Em
a derivada muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em . - Em
a derivada muda de positivo para negativo → máximo local em .
Passo 5
Agora aplicamos o teste da derivada segunda como verificação adicional. Primeiro calculamos
. Partimos de
. Derivando (usar regra do produto e derivada de
que é
):
Sabemos
e
. Substituindo:
Fatorando
:
Passo 6
Aplicamos o teste da derivada segunda nos pontos críticos. Lembre: se
então
é mínimo local; se
então é máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Avaliações:
- Em
:
Logo pelo teste da derivada segunda
é mínimo local — confirma o resultado do teste da primeira derivada.
- Em
:
Como
, pelo teste da derivada segunda
é máximo local — também confirma o teste da primeira derivada.
Passo 7
Calculemos os valores da função nos pontos críticos para apresentar as coordenadas dos extremos:
Resposta
Mínimo local em
.
Máximo local em .
Máximo local em