Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
f(x)=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos locais) da função \displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x} usando o teste da derivada primeira e o teste da derivada segunda.
Informações dadas: a expressão da função é \displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x}.
O que precisamos devolver: os pontos críticos e, para cada um, dizer se é máximo local, mínimo local ou nenhum, justificando pelos dois testes (derivada primeira e derivada segunda) e apresentar os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira \displaystyle f'(x). Para isso usamos a regra do produto: se \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui tomamos \displaystyle u(x)=x^{2} e \displaystyle v(x)=e^{-x}. Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=2x.
Para v'(x) usamos a regra da cadeia: a derivada de \displaystyle e^{g(x)} é \displaystyle g'(x)e^{g(x)}. Como g(x)=-x, temos
v'(x)=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x e^{-x} + x^{2}(-e^{-x}).

Passo 3

Simplificamos \displaystyle f'(x) fatorando e^{-x}, que é sempre positivo (ou seja, nunca zero):
f'(x)=e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).
Fatorando ainda \displaystyle x:
f'(x)=e^{-x}\,x(2-x).
Como \displaystyle e^{-x}>0 para todo x, os zeros de \displaystyle f'(x) vêm dos fatores x e (2-x). Logo, os pontos críticos são as soluções de \displaystyle f'(x)=0:
x=0 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 4

Interpretação do teste da derivada primeira: se \displaystyle f' muda de sinal de negativo para positivo em um ponto crítico então há mínimo local; se muda de positivo para negativo então há máximo local; se não muda de sinal, não há extremo local. Vamos estudar o sinal de \displaystyle f'(x)=e^{-x}x(2-x). Como \displaystyle e^{-x}>0, o sinal é o mesmo de \displaystyle x(2-x).
Analise dos intervalos:
  • Para \displaystyle x<0: temos x<0 e (2-x)>0, portanto x(2-x)<0. Logo \displaystyle f'(x)<0 para x<0.
  • Para \displaystyle 0<x<2: temos x>0 e (2-x)>0, portanto x(2-x)>0. Logo \displaystyle f'(x)>0 em (0,2).
  • Para \displaystyle x>2: temos x>0 e (2-x)<0, logo x(2-x)<0. Assim \displaystyle f'(x)<0 para x>2.
Com isso vemos:
  • Em x=0 a derivada muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em x=0.
  • Em x=2 a derivada muda de positivo para negativo → máximo local em x=2.

Passo 5

Agora aplicamos o teste da derivada segunda como verificação adicional. Primeiro calculamos \displaystyle f''(x). Partimos de \displaystyle f'(x)=e^{-x}\bigl(2x-x^{2}\bigr). Derivando (usar regra do produto e derivada de e^{-x} que é -e^{-x}):
f''(x)=\bigl(e^{-x}\bigr)'\bigl(2x-x^{2}\bigr) + e^{-x}\bigl(2x-x^{2}\bigr)'\!.
Sabemos \bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x} e \bigl(2x-x^{2}\bigr)'=2-2x. Substituindo:
f''(x)=-e^{-x}\bigl(2x-x^{2}\bigr) + e^{-x}(2-2x).
Fatorando e^{-x}:
f''(x)=e^{-x}\bigl(-2x + x^{2} + 2 - 2x\bigr)=e^{-x}\bigl(x^{2}-4x+2\bigr).

Passo 6

Aplicamos o teste da derivada segunda nos pontos críticos. Lembre: se \displaystyle f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se \displaystyle f''(x_0)<0 então é máximo local; se \displaystyle f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Avaliações:
  • Em \displaystyle x=0:
f''(0)=e^{0}\bigl(0^{2}-4\cdot 0+2\bigr)=1\cdot 2=2>0.
Logo pelo teste da derivada segunda \displaystyle x=0 é mínimo local — confirma o resultado do teste da primeira derivada.
  • Em \displaystyle x=2:
f''(2)=e^{-2}\bigl(2^{2}-4\cdot 2+2\bigr)=e^{-2}\bigl(4-8+2\bigr)=e^{-2}(-2)<0.
Como \displaystyle f''(2)<0, pelo teste da derivada segunda \displaystyle x=2 é máximo local — também confirma o teste da primeira derivada.

Passo 7

Calculemos os valores da função nos pontos críticos para apresentar as coordenadas dos extremos:
f(0)=0^{2}e^{0}=0.
f(2)=2^{2}e^{-2}=4e^{-2}.

Resposta

Mínimo local em \displaystyle (0,0).
Máximo local em \displaystyle \bigl(2,4e^{-2}\bigr).

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