Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- A variável tende a
: . - A base
tende a , porque quando . - O expoente
tende a . - Portanto a forma é do tipo indeterminado
.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): quando temos uma potência cuja base tende a
e o expoente tende a infinito (ou menos infinito), é muito útil trabalhar com o logaritmo natural. Se eu conseguir calcular
então posso obter o limite original exponenciando o resultado. A identidade que vou usar, válida quando o limite do log existe, é:
e o inverso: se
então
. Isso transforma uma potência complicada numa multiplicação mais fácil de tratar.
Passo 3
Calculo do logaritmo do limite. Defino
Assumindo que o limite existe e é positivo (a base é positiva para
suficientemente grande em módulo), tomo logaritmo:
Agora uso uma propriedade básica do logaritmo quando o argumento tende a
: para
vale
No nosso caso
e
quando
. Reescrevo a expressão isolando esse quociente:
Agora simplifico
e uso o limite acima para o quociente:
Então
.
Passo 4
Volto ao valor de
exponenciando:
Dica prática para a prova: você pode memorizar a ideia geral — limites do tipo
tendem a
quando
. Aqui seria
e
, dando
. Um exemplo extra rápido:
.