Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{4}}\'

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{4}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A variável tende a -\infty: \;x\to -\infty.
  • A base \;1+\dfrac{3}{x}\; tende a 1, porque \dfrac{3}{x}\to0 quando x\to -\infty.
  • O expoente \dfrac{x}{4} tende a -\infty.
  • Portanto a forma é do tipo indeterminado \;1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): quando temos uma potência cuja base tende a 1 e o expoente tende a infinito (ou menos infinito), é muito útil trabalhar com o logaritmo natural. Se eu conseguir calcular
\lim_{x\to -\infty}\ln\!\left[\left(1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{4}}\right],
então posso obter o limite original exponenciando o resultado. A identidade que vou usar, válida quando o limite do log existe, é:
\lim_{x\to -\infty} f(x) = L \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to -\infty} \ln f(x) = \ln L,
e o inverso: se \lim \ln f(x)=M então \lim f(x)=e^{M}. Isso transforma uma potência complicada numa multiplicação mais fácil de tratar.

Passo 3

Calculo do logaritmo do limite. Defino
L=\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{4}}.
Assumindo que o limite existe e é positivo (a base é positiva para x suficientemente grande em módulo), tomo logaritmo:
\ln L=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{4}\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right).
Agora uso uma propriedade básica do logaritmo quando o argumento tende a 1: para u\to0 vale
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
No nosso caso u=\dfrac{3}{x} e u\to0 quando x\to -\infty. Reescrevo a expressão isolando esse quociente:
\ln L=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{4}\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right) = \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{4}\cdot\frac{3}{x}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{3}{x}}.
Agora simplifico \dfrac{x}{4}\cdot\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{4} e uso o limite acima para o quociente:
\ln L = \frac{3}{4}\cdot\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{3}{x}} = \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{3}{4}.
Então \ln L=\dfrac{3}{4}.

Passo 4

Volto ao valor de L exponenciando:
L = e^{\ln L} = e^{\frac{3}{4}}.
Dica prática para a prova: você pode memorizar a ideia geral — limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} tendem a e^{ab} quando x\to\pm\infty. Aqui seria a=3 e b=\dfrac{1}{4}, dando e^{3/4}. Um exemplo extra rápido: \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{5x}=e^{10}.

Resposta

e^{\frac{3}{4}}

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