Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}.
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão é \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}.
  • A variável x tende a -\infty.
  • Para x\to -\infty temos x<-1 (logo \,1+\frac{1}{x}>0), então a potência está bem definida em termos de logaritmo natural se precisarmos usar.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada didaticamente): é habitual transformar limites de potências em limites de somas usando o logaritmo natural. Se definirmos
L=\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2},
então, quando a base é positiva e o limite existe, podemos calcular \ln L e depois fazer exponencial. Assim vamos estudar
\ln L=\lim_{x\to -\infty}(x+2)\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Justificativa rápida: a função \ln é contínua em (0,\infty), logo converter a potência em produto dentro do log facilita o cálculo.

Passo 3

Manipulação algébrica do logaritmo para simplificar o limite:
(x+2)\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)+2\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Vamos calcular os limites dos dois termos separadamente quando x\to -\infty.

Passo 4

Cálculo do primeiro termo \displaystyle x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Faça a substituição \displaystyle u=\frac{1}{x}. Quando x\to -\infty vem \,u\to 0 (pela esquerda, mas isso não atrapalha). Reescrevendo:
x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora usamos um limite padrão: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Explicação desse limite: é o valor da derivada de \ln(1+u) em u=0, ou pode-se aplicar L’Hôpital:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{1/(1+u)}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto
\lim_{x\to -\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=1.

Passo 5

Cálculo do segundo termo \displaystyle 2\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Como \displaystyle \frac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty, temos \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 0. Logo
\lim_{x\to -\infty}2\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Concluímos o limite do logaritmo:
\ln L=\lim_{x\to -\infty}(x+2)\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=1+0=1.
Como \ln L=1, temos L=e^{1}=e. (Aqui usei que a exponenciação é a função inversa do logaritmo natural.)

Passo 7

Verificação alternativa curta (útil para prova): fatorando
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}.
Para x\to -\infty vale \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to e (pode ver isso fazendo x=-t, t\to\infty, e usando o limite clássico) e \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}\to 1. Produto dá e\cdot 1=e, confirmando a resposta.

Resposta

e

Exercícios relacionados