Calcule:
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão é
. - A variável
tende a . - Para
temos (logo ), então a potência está bem definida em termos de logaritmo natural se precisarmos usar. - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): é habitual transformar limites de potências em limites de somas usando o logaritmo natural. Se definirmos
então, quando a base é positiva e o limite existe, podemos calcular
e depois fazer exponencial. Assim vamos estudar
Justificativa rápida: a função
é contínua em
, logo converter a potência em produto dentro do log facilita o cálculo.
Passo 3
Manipulação algébrica do logaritmo para simplificar o limite:
Vamos calcular os limites dos dois termos separadamente quando
.
Passo 4
Cálculo do primeiro termo
.
Faça a substituição
. Quando
vem
(pela esquerda, mas isso não atrapalha). Reescrevendo:
Agora usamos um limite padrão:
. Explicação desse limite: é o valor da derivada de
em
, ou pode-se aplicar L’Hôpital:
Portanto
Passo 5
Cálculo do segundo termo
.
Como
quando
, temos
. Logo
Passo 6
Concluímos o limite do logaritmo:
Como
, temos
. (Aqui usei que a exponenciação é a função inversa do logaritmo natural.)
Passo 7
Verificação alternativa curta (útil para prova): fatorando
Para
vale
(pode ver isso fazendo
,
, e usando o limite clássico) e
. Produto dá
, confirmando a resposta.