Encontre f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
f(x)=x+\frac{1}{x} e g(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede quatro composições e os domínios de cada uma:
  • Funções dadas:
    • f(x)=x+\dfrac{1}{x}.
    • g(x)=e^{x}.
  • Perguntas: encontrar (f\circ g), (g\circ f), (f\circ f) e (g\circ g) (ou seja, as expressões explícitas dessas composições) e os respectivos domínios.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Domínio de f: todos os reais exceto 0, isto é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
  • Domínio de g: todos os reais, isto é \mathbb{R}.

Passo 2

Definição e regra de domínio para composição (isso é importante para a prova):
  • Por definição, (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big) (lê-se “f de g de x”, primeiro aplica-se g, depois f).
  • Regra do domínio: o domínio de f\circ g é \{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.Ou seja, só podemos usar valores de x que estão no domínio de g e cujo valor g(x) também esteja no domínio de f.
  • Mesma ideia para g\circ f: (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big) e seu domínio é \{x\in\operatorname{dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.
Vou aplicar essa definição e a regra de domínio passo a passo em cada composição.

Passo 3

  • Primeiro escrevo a composição: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\big(e^{x}\big).
  • Substituo e^{x} em f(t)=t+\dfrac{1}{t} (usando t=g(x)=e^x): (f\circ g)(x)=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}.
  • Posso reescrever \dfrac{1}{e^{x}}=e^{-x}, então uma forma elegante é (f\circ g)(x)=e^{x}+e^{-x}.
  • Agora o domínio: pela regra, precisamos de x\in\operatorname{dom}(g) e g(x)\in\operatorname{dom}(f).
    • \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.
    • \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, então é preciso verificar se g(x)=e^{x} pode ser 0. Mas e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, nunca é 0.
    • Logo todo x\in\mathbb{R} satisfaz g(x)\in\operatorname{dom}(f).
  • Conclusão do domínio: \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 4

  • Escrevo a composição: (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\Big(x+\frac{1}{x}\Big).
  • Substituo na definição de g(t)=e^{t}: (g\circ f)(x)=e^{\,x+\frac{1}{x}}.
  • Posso também escrever e^{x+\frac{1}{x}}=e^{x}\,e^{1/x} se for útil em provas ou simplificações.
  • Domínio: pela regra, x deve estar em \operatorname{dom}(f) e f(x) deve estar em \operatorname{dom}(g).
    • \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, portanto já sabemos que x\neq0.
    • \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}, então qualquer valor real f(x) é aceito por g.
  • Assim a única restrição é x\neq0. Portanto \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 5

  • Escrevo a composição: (f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=f\Big(x+\frac{1}{x}\Big).
  • Substituo na definição f(t)=t+\dfrac{1}{t} com t=f(x)=x+\dfrac{1}{x}: (f\circ f)(x)=\Big(x+\frac{1}{x}\Big)+\frac{1}{\displaystyle x+\frac{1}{x}}.
  • Vamos simplificar o último termo de forma clara (passo a passo):
    • Primeiro calcule \displaystyle \frac{1}{x+\frac{1}{x}}. Escrevendo x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}+1}{x}, temos \frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\dfrac{x^{2}+1}{x}}=\frac{x}{x^{2}+1}.
    • Portanto (f\circ f)(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}.
  • Se desejar uma única fração (opcional, mas útil em algumas provas), faço um denominador comum D=x(x^{2}+1):
    • Escrevendo cada termo com denominador D: x=\frac{x^{2}(x^{2}+1)}{D},\qquad \frac{1}{x}=\frac{x^{2}+1}{D},\qquad \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{D}.
    • Somando os numeradores: (f\circ f)(x)=\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{x(x^{2}+1)}.
    • Ambas as formas estão corretas; a forma mais direta e clara para a prova costuma ser x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Agora o domínio: pela regra, x deve estar em \operatorname{dom}(f) e f(x) deve estar em \operatorname{dom}(f).
    • Primeiro, precisamos de x\neq0 (para que f(x) esteja definida).
    • Em seguida, precisamos que f(x)\neq0 (porque na segunda aplicação há um termo 1/f(x)).
    • Vamos verificar se existe x\in\mathbb{R} com f(x)=0. Resolver x+\dfrac{1}{x}=0 x^{2}+1=0,que não tem solução real (apenas soluções complexas). Logo f(x)\neq0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Logo a única restrição é x\neq0. Portanto \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 6

  • Composição: (g\circ g)(x)=g\big(g(x)\big)=g\big(e^{x}\big)=e^{\,e^{x}}.
  • Domínio: \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)=e^{x} é real para todo x, e e^{x}\in\mathbb{R} é válido como entrada para g (que aceita todos os reais). Não há restrições.
  • Portanto \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=e^{x}+e^{-x},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\n
(g\circ f)(x)=e^{\,x+\frac{1}{x}}=e^{x}e^{1/x},\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\n
(f\circ f)(x)=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{4}+3x^{2}+1}{x(x^{2}+1)},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\n
(g\circ g)(x)=e^{\,e^{x}},\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}

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