Encontre
e
e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede quatro composições e os domínios de cada uma:
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- Perguntas: encontrar
, , e (ou seja, as expressões explícitas dessas composições) e os respectivos domínios.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Domínio de
: todos os reais exceto , isto é . - Domínio de
: todos os reais, isto é .
Passo 2
Definição e regra de domínio para composição (isso é importante para a prova):
- Por definição,
(lê-se “f de g de x”, primeiro aplica-se , depois ). - Regra do domínio: o domínio de
é Ou seja, só podemos usar valores de que estão no domínio de e cujo valor também esteja no domínio de . - Mesma ideia para
: e seu domínio é .
Vou aplicar essa definição e a regra de domínio passo a passo em cada composição.
Passo 3
- Primeiro escrevo a composição:
- Substituo
em (usando ): - Posso reescrever
, então uma forma elegante é - Agora o domínio: pela regra, precisamos de
e . -
. -
, então é preciso verificar se pode ser . Mas para todo , nunca é . - Logo todo
satisfaz .
-
- Conclusão do domínio:
.
Passo 4
- Escrevo a composição:
- Substituo na definição de
: - Posso também escrever
se for útil em provas ou simplificações. - Domínio: pela regra,
deve estar em e deve estar em . -
, portanto já sabemos que . -
, então qualquer valor real é aceito por .
-
- Assim a única restrição é
. Portanto .
Passo 5
- Escrevo a composição:
- Substituo na definição
com : - Vamos simplificar o último termo de forma clara (passo a passo):
- Primeiro calcule
. Escrevendo , temos - Portanto
- Primeiro calcule
- Se desejar uma única fração (opcional, mas útil em algumas provas), faço um denominador comum
: - Escrevendo cada termo com denominador
: - Somando os numeradores:
- Ambas as formas estão corretas; a forma mais direta e clara para a prova costuma ser
.
- Escrevendo cada termo com denominador
- Agora o domínio: pela regra,
deve estar em e deve estar em . - Primeiro, precisamos de
(para que esteja definida). - Em seguida, precisamos que
(porque na segunda aplicação há um termo ). - Vamos verificar se existe
com . Resolver dá que não tem solução real (apenas soluções complexas). Logo para todo .
- Primeiro, precisamos de
- Logo a única restrição é
. Portanto .
Passo 6
- Composição:
- Domínio:
e é real para todo , e é válido como entrada para (que aceita todos os reais). Não há restrições. - Portanto
.