Encontre f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus respectivos domínios para as seguintes funções. f(x)=\frac{2 x}{1+x} e g(x)=\operatorname{sen}(3 x).
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g.
Determinar o domínio de cada uma dessas composições.
Informações dadas:
f(x)=\dfrac{2x}{1+x}.
g(x)=\operatorname{sen}(3x).
Informações úteis extraídas das definições:
O domínio natural de f é \{x\in\mathbb{R}\mid 1+x\neq0\}, isto é, \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
O domínio natural de g é todo \mathbb{R}, porque \operatorname{sen} está definida para todos os reais.
Passo 2
Regra geral (importante para aplicar nos próximos passos):
Definição de composição: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Regra de domínio da composição: o domínio de f\circ g é\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Ou seja, primeiro x tem que estar no domínio de g e, além disso, o valor g(x) tem que ser um valor permitido para f.
Vou aplicar essa regra para cada composição, mostrando os cálculos e verificando quais valores de x são proibidos.
Domínio: para que essa composição exista precisamos de x\in\operatorname{dom}(f) (pois aplicamos f primeiro). Como \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\} e a função seno aceita qualquer número real, o domínio de g\circ f é
Logo x=-\dfrac{1}{3} produz f(x)=-1, o que impede a segunda aplicação de f. Assim devemos excluir x=-1 e x=-\dfrac{1}{3}.
Observação sobre a simplificação: ao simplificar para \dfrac{4x}{1+3x} foi cancelado o fator 1+x nos numerador e denominador; porém esse cancelamento não remove a restrição x\neq-1 já que originalmente f não está definida em x=-1. Portanto o domínio final é
Domínio: como g está definida para todo real e o seno aceita qualquer número real como argumento, não há restrição adicional. Logo o domínio de g\circ g é todo \mathbb{R}.