Encontre f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
f(x)=\frac{2 x}{1+x} e g(x)=\operatorname{sen}(3 x).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g.
  • Determinar o domínio de cada uma dessas composições.
Informações dadas:
  • f(x)=\dfrac{2x}{1+x}.
  • g(x)=\operatorname{sen}(3x).
Informações úteis extraídas das definições:
  • O domínio natural de f é \{x\in\mathbb{R}\mid 1+x\neq0\}, isto é, \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • O domínio natural de g é todo \mathbb{R}, porque \operatorname{sen} está definida para todos os reais.

Passo 2

Regra geral (importante para aplicar nos próximos passos):
  • Definição de composição: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Regra de domínio da composição: o domínio de f\circ g é \{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Ou seja, primeiro x tem que estar no domínio de g e, além disso, o valor g(x) tem que ser um valor permitido para f.
Vou aplicar essa regra para cada composição, mostrando os cálculos e verificando quais valores de x são proibidos.

Passo 3

Cálculo de f\circ g.
Primeiro escrevo a composição por substituição:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\frac{2\,g(x)}{1+g(x)}.
Substituindo g(x)=\operatorname{sen}(3x):
(f\circ g)(x)=\frac{2\,\operatorname{sen}(3x)}{1+\operatorname{sen}(3x)}.
Agora o domínio. Repare que g está definida para todo x\in\mathbb{R}, então a única restrição vem do denominador de f quando aplicado a g(x):
1+g(x)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\operatorname{sen}(3x)\neq0.
Isto é equivalente a
\operatorname{sen}(3x)\neq-1.
Quando ocorre \operatorname{sen}(3x)=-1? Sabendo que \operatorname{sen}\theta=-1 para \theta= \tfrac{3\pi}{2}+2\pi k ( k\in\mathbb{Z}), temos
3x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto o domínio de f\circ g é
\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}k \;\middle|\; k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 4

Cálculo de g\circ f.
Substituindo:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\operatorname{sen}\!\big(3\,f(x)\big).
Com f(x)=\dfrac{2x}{1+x} isso dá
(g\circ f)(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{6x}{1+x}\right).
Domínio: para que essa composição exista precisamos de x\in\operatorname{dom}(f) (pois aplicamos f primeiro). Como \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\} e a função seno aceita qualquer número real, o domínio de g\circ f é
\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 5

Cálculo de f\circ f.
Começo por substituir:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\frac{2\,f(x)}{1+f(x)},
com f(x)=\dfrac{2x}{1+x}. Então
(f\circ f)(x)=\frac{2\cdot\frac{2x}{1+x}}{1+\frac{2x}{1+x}}.
Faço a simplificação passo a passo (colocando em forma de frações com mesmo denominador):
(f\circ f)(x)=\frac{\dfrac{4x}{1+x}}{\dfrac{1+x+2x}{1+x}} =\frac{4x}{1+x+2x} =\frac{4x}{1+3x}.
Portanto a expressão simplificada é
(f\circ f)(x)=\frac{4x}{1+3x}.
Agora o domínio: deve-se exigir duas coisas:
  1. x\in\operatorname{dom}(f), isto é x\neq-1 (porque precisamos calcular f(x) primeiro);
  2. f(x)\in\operatorname{dom}(f), ou seja, f(x)\neq-1 (porque aplicamos f de novo).
Calculo de quando f(x)=-1:
\frac{2x}{1+x}=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-(1+x)\quad\Longrightarrow\quad 2x=-1-x
\Longrightarrow\quad 3x=-1\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{1}{3}.
Logo x=-\dfrac{1}{3} produz f(x)=-1, o que impede a segunda aplicação de f. Assim devemos excluir x=-1 e x=-\dfrac{1}{3}.
Observação sobre a simplificação: ao simplificar para \dfrac{4x}{1+3x} foi cancelado o fator 1+x nos numerador e denominador; porém esse cancelamento não remove a restrição x\neq-1 já que originalmente f não está definida em x=-1. Portanto o domínio final é
\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\,-\tfrac{1}{3}\right\}.

Passo 6

Cálculo de g\circ g.
Substituindo:
(g\circ g)(x)=g\big(g(x)\big)=\operatorname{sen}\!\big(3\,\operatorname{sen}(3x)\big).
Não há simplificação algébrica útil além disso.
Domínio: como g está definida para todo real e o seno aceita qualquer número real como argumento, não há restrição adicional. Logo o domínio de g\circ g é todo \mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{2\,\operatorname{sen}(3x)}{1+\operatorname{sen}(3x)},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}k\;\middle|\;k\in\mathbb{Z}\right\}\n
(g\circ f)(x)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{6x}{1+x}\right),\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\n
(f\circ f)(x)=\dfrac{4x}{1+3x},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\,-\dfrac{1}{3}\right\}\n
(g\circ g)(x)=\operatorname{sen}\!\big(3\operatorname{sen}(3x)\big),\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}

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