Encontre f^{k}(x) se:
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}\; e pede que se encontre \;f^{k}(x)\;.
Informações claras e o que está sendo pedido:
  • Dado: \;f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}\;.
  • Pedido: achar a k-ésima derivada de f, isto é \;f^{k}(x)\; (assumimos k inteiro não negativo).
  • Observação útil: \;x\neq\pm1\; porque a função tem singularidades em x=\pm1.

Passo 2

Fazer uma decomposição em frações simples (partial fractions) facilita muito o cálculo das derivadas. Vamos escrever \dfrac{1}{x^{2}-1} como soma de termos da forma \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}.
Procuramos A,B tais que
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}.
Como (x-1)(x+1)=x^{2}-1, igualamos numeradores:
1 = A(x+1)+B(x-1).
Essa é uma identidade em x. Tomando valores convenientes ou comparando coeficientes, podemos achar A e B. Usando x=1:
1 = A(1+1)+B(0)\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Usando x=-1:
1 = A(0)+B(-1-1)\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Logo:
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.

Passo 3

Agora precisamos da fórmula para a k-ésima derivada de \dfrac{1}{x-a}. Vamos estabelecer e provar a fórmula:
\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1}{x-a}\right)=\frac{(-1)^{k}\,k!}{(x-a)^{k+1}}.
Prova por indução (rápida e didática):
  • Base k=0: vale trivialmente porque lado esquerdo é \dfrac{1}{x-a} e a fórmula dá \dfrac{(-1)^{0}0!}{(x-a)^{1}}=\dfrac{1}{x-a}.
  • Passo indutivo: suponha válida para k. Então a derivada de ordem k+1 é
\frac{d^{\,k+1}}{dx^{k+1}}\left(\frac{1}{x-a}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{(-1)^{k}k!}{(x-a)^{k+1}}\right).
Derivando (x-a)^{-(k+1)} obtém-se -(k+1)(x-a)^{-(k+2)}, então
\frac{d^{\,k+1}}{dx^{k+1}}\left(\frac{1}{x-a}\right) = (-1)^{k}k!\cdot\bigl(-(k+1)\bigr)\,(x-a)^{-(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x-a)^{k+2}},
que é exatamente a fórmula para k+1. Assim a fórmula vale para todo k\ge0.

Passo 4

Aplicar a decomposição da Passo 2 e a fórmula da Passo 3 para obter a k-ésima derivada de f.
Temos
f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
Derivando k vezes termo a termo e usando a fórmula:
\frac{d^{k}}{dx^{k}}\! \left(\frac{1}{x-1}\right)=\frac{(-1)^{k}k!}{(x-1)^{k+1}}, \qquad \frac{d^{k}}{dx^{k}}\! \left(\frac{1}{x+1}\right)=\frac{(-1)^{k}k!}{(x+1)^{k+1}}.
Portanto
f^{k}(x)=\frac{d^{k}}{dx^{k}}f(x) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(-1)^{k}k!}{(x-1)^{k+1}} -\frac{1}{2}\cdot\frac{(-1)^{k}k!}{(x+1)^{k+1}}.
Fatorando \dfrac{(-1)^{k}k!}{2}, obtemos a forma compacta
f^{k}(x)=\frac{(-1)^{k}k!}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{k+1}}-\frac{1}{(x+1)^{k+1}}\right).

Passo 5

Verificação rápida com casos pequenos para ganhar confiança:
  • Para k=1 a fórmula dá
f'(x)=\frac{(-1)^{1}1!}{2}\!\left(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right),
que coincide com a derivada direta de \dfrac{1}{x^{2}-1}.
  • Para k=0 a fórmula dá f^{0}(x)=f(x) como deve.
Pequeno incentivo: essa técnica (decompor em frações simples e usar a fórmula para derivada de \dfrac{1}{x-a}) é padrão e muito útil — salva tempo na prova e evita contas longas com regras de Leibniz.

Resposta

f^{k}(x)=\frac{(-1)^{k}k!}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{k+1}}-\frac{1}{(x+1)^{k+1}}\right)

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