Encontre
se:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se encontre
.
Informações claras e o que está sendo pedido:
Informações claras e o que está sendo pedido:
- Dado:
. - Pedido: achar a
-ésima derivada de , isto é (assumimos inteiro não negativo). - Observação útil:
porque a função tem singularidades em .
Passo 2
Fazer uma decomposição em frações simples (partial fractions) facilita muito o cálculo das derivadas. Vamos escrever
como soma de termos da forma
.
Procuramos
tais que
Colocando sobre o mesmo denominador:
Como
, igualamos numeradores:
Essa é uma identidade em
. Tomando valores convenientes ou comparando coeficientes, podemos achar
e
. Usando
:
Usando
:
Logo:
Passo 3
Agora precisamos da fórmula para a
-ésima derivada de
. Vamos estabelecer e provar a fórmula:
Prova por indução (rápida e didática):
- Base
: vale trivialmente porque lado esquerdo é e a fórmula dá . - Passo indutivo: suponha válida para
. Então a derivada de ordem é
Derivando
obtém-se
, então
que é exatamente a fórmula para
. Assim a fórmula vale para todo
.
Passo 4
Aplicar a decomposição da Passo 2 e a fórmula da Passo 3 para obter a
-ésima derivada de
.
Temos
Derivando
vezes termo a termo e usando a fórmula:
Portanto
Fatorando
, obtemos a forma compacta
Passo 5
Verificação rápida com casos pequenos para ganhar confiança:
- Para
a fórmula dá
que coincide com a derivada direta de
.
- Para
a fórmula dá como deve.
Pequeno incentivo: essa técnica (decompor em frações simples e usar a fórmula para derivada de
) é padrão e muito útil — salva tempo na prova e evita contas longas com regras de Leibniz.