Imagine uma estrada na qual a velocidade limite é especificada em cada ponto. Em outras palavras, existe uma certa função
tal que a velocidade limite
do início da estrada é
. Dois carros,
e
, estão circulando ao longo desta estrada; a posição do carro
no instante
é
, e do carro
é
.
a) Qual é a equação que expressa o facto que o carro
está sempre a viajar a velocidade limite? (A resposta não é
.)
b) Suponhamos que
sempre circula a velocidade limite e que a posição de
no instante
é a posição de
no instante
. Mostre que
também circula a velocidade limite em todo instante.
c) Suponhamos que
sempre está a uma distância constante atrás de
. Sobre que condições
estará sempre a circular a velocidade limite?
a) Qual é a equação que expressa o facto que o carro
b) Suponhamos que
c) Suponhamos que
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
- Há uma função
que dá o limite de velocidade no ponto da estrada: se um carro está na posição então o limite aí é . (Peguei esta interpretação do enunciado.) - As posições dos carros no instante
são dadas por funções para o carro e para o carro . - Quando o enunciado diz “o carro
está sempre a viajar a velocidade limite”, isso significa que, em qualquer instante , a velocidade instantânea de é igual ao limite naquele lugar onde se encontra. - Perguntas:
(a) Escrever a equação que expressa queestá sempre a viajar a velocidade limite.
(b) Supondo quesempre circula à velocidade limite e que para todo , mostrar que também circula sempre à velocidade limite.
(c) Supondo queestá sempre a uma distância constante atrás de (isto é, há uma constante tal que para todo ), determinar sob que condições estará sempre a circular à velocidade limite.
Passo 2
Entendendo a diferença entre
dependendo da posição e não do tempo: explicar o sentido da equação pedida no item (a).
- A velocidade instantânea de
no instante é a derivada da posição em relação ao tempo: isso é . - O limite de velocidade aplicado a
nesse instante depende da posição onde está, que é . Logo o limite relevante é . - Portanto a equação que traduz “
está sempre a viajar à velocidade limite” é
para todos os
do domínio considerado.
- Observação didática: escrever
estaria a dizer que o limite de velocidade muda com o tempo independentemente de onde o carro está; isso não corresponde ao enunciado, pois o enunciado diz que o limite é função da posição.
Passo 3
Preparação para o item (b): recordar e explicar como derivar uma função composta que envolve um deslocamento no tempo.
- Temos
. Isto é uma composição com um deslocamento temporal de . - Para diferenciar
em relação a usamos a definição de derivada (ou a regra da cadeia de forma simples aqui, já que a transformação tem derivada ). Escrevendo pela definição:
- Fazendo a mudança de variável
(ou observando que isto é a diferença quociente para avaliada em ), obtemos
- Em palavras: derivar uma função atrasada em
segundo é simplesmente derivar a função original e avaliar no tempo atrasado.
Passo 4
Resolução do item (b) usando o resultado do passo anterior.
- Partimos da hipótese de que
sempre circula à velocidade limite, ou seja, para todo vale
- Aplicando isso com
obtemos
- Mas
por hipótese, e do passo anterior sabemos que . Portanto
- Conclusão:
também satisfaz a equação da velocidade limite em todo instante, ou seja,
para todo
. Assim
também circula sempre à velocidade limite.
Passo 5
Entendendo o item (c): expressão matemática da hipótese “
está sempre a uma distância constante atrás de
” e que exigência isso impõe para que
ande sempre ao limite.
- “Distância constante atrás” significa que existe constante
(geralmente ) tal que, para todo ,
- Dessa igualdade segue imediatamente que
- Diferenciando em
obtemos
pois
é constante.
- Como
anda à velocidade limite, . Para que também ande sempre à velocidade limite precisamos que para todo
- Substituindo
e obtemos a condição necessária e suficiente
- Em palavras: o limite de velocidade no ponto onde
está tem de ser o mesmo que no ponto que fica à distância atrás (onde está). Isso tem duas interpretações úteis: - Se a exigência deve valer para todos os possíveis movimentos de
(isto é, independentemente do conjunto de posições que visite), então a condição equivalente é
ou seja, é invariante por translação de comprimento . Uma forma particular disso é que seja constante, ou mais geralmente que seja periódica com período . - Se a exigência precisa valer apenas ao longo das posições efetivamente percorridas por
, basta que para todo (ou seja, igualdade restrita ao trajeto de ).
- Se a exigência deve valer para todos os possíveis movimentos de
Passo 6
Resumo final das conclusões, de forma direta e pronta para consultar na prova.
- (a) A equação que expressa que
sempre viaja à velocidade limite é . - (b) Se
para todo e , então, usando , segue que para todo ; logo também circula à velocidade limite. - (c) Se
é constante, então e . Para que esteja sempre à velocidade limite é necessário e suficiente que
o que, se se quer uma condição independente da trajetória de
, equivale a exigir
para todo
(por exemplo,
constante ou periódica de período
).
Resposta
(a)
(b) Sim.
(c) Se
constante, então é necessário e suficiente que
para todo
. Se a condição deve valer para todas as posições, isto equivale a
para todo
(por exemplo,
constante ou periódica de período
).