Imagine uma estrada na qual a velocidade limite é especificada em cada ponto. Em outras palavras, existe uma certa função L tal que a velocidade limite x do início da estrada é L(x). Dois carros, A e B, estão circulando ao longo desta estrada; a posição do carro A no instante t é a(t), e do carro B é b(t).
a) Qual é a equação que expressa o facto que o carro A está sempre a viajar a velocidade limite? (A resposta não é a^{\prime}=L(t).)
b) Suponhamos que A sempre circula a velocidade limite e que a posição de B no instante t é a posição de A no instante t-1. Mostre que B também circula a velocidade limite em todo instante.
c) Suponhamos que B sempre está a uma distância constante atrás de A. Sobre que condições B estará sempre a circular a velocidade limite?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
  • Há uma função L que dá o limite de velocidade no ponto da estrada: se um carro está na posição x então o limite aí é L(x). (Peguei esta interpretação do enunciado.)
  • As posições dos carros no instante t são dadas por funções a(t) para o carro A e b(t) para o carro B.
  • Quando o enunciado diz “o carro A está sempre a viajar a velocidade limite”, isso significa que, em qualquer instante t, a velocidade instantânea de A é igual ao limite naquele lugar onde A se encontra.
  • Perguntas:
    (a) Escrever a equação que expressa que A está sempre a viajar a velocidade limite.
    (b) Supondo que A sempre circula à velocidade limite e que b(t)=a(t-1) para todo t, mostrar que B também circula sempre à velocidade limite.
    (c) Supondo que B está sempre a uma distância constante atrás de A (isto é, há uma constante c tal que a(t)-b(t)=c para todo t), determinar sob que condições B estará sempre a circular à velocidade limite.

Passo 2

Entendendo a diferença entre L dependendo da posição e não do tempo: explicar o sentido da equação pedida no item (a).
  • A velocidade instantânea de A no instante t é a derivada da posição em relação ao tempo: isso é \,a'(t)\,.
  • O limite de velocidade aplicado a A nesse instante depende da posição onde A está, que é a(t). Logo o limite relevante é \,L\bigl(a(t)\bigr)\,.
  • Portanto a equação que traduz “ A está sempre a viajar à velocidade limite” é
a'(t)=L\bigl(a(t)\bigr)
para todos os t do domínio considerado.
  • Observação didática: escrever a'(t)=L(t) estaria a dizer que o limite de velocidade muda com o tempo t independentemente de onde o carro está; isso não corresponde ao enunciado, pois o enunciado diz que o limite é função da posição.

Passo 3

Preparação para o item (b): recordar e explicar como derivar uma função composta que envolve um deslocamento no tempo.
  • Temos b(t)=a(t-1). Isto é uma composição com um deslocamento temporal de 1.
  • Para diferenciar b em relação a t usamos a definição de derivada (ou a regra da cadeia de forma simples aqui, já que a transformação t\mapsto t-1 tem derivada 1). Escrevendo pela definição:
b'(t)=\lim_{h\to0}\frac{b(t+h)-b(t)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{a(t+h-1)-a(t-1)}{h}.
  • Fazendo a mudança de variável k=h (ou observando que isto é a diferença quociente para a avaliada em t-1), obtemos
b'(t)=a'(t-1).
  • Em palavras: derivar uma função atrasada em 1 segundo é simplesmente derivar a função original e avaliar no tempo atrasado.

Passo 4

Resolução do item (b) usando o resultado do passo anterior.
  • Partimos da hipótese de que A sempre circula à velocidade limite, ou seja, para todo s vale
a'(s)=L\bigl(a(s)\bigr).
  • Aplicando isso com s=t-1 obtemos
a'(t-1)=L\bigl(a(t-1)\bigr).
  • Mas \,a(t-1)=b(t)\, por hipótese, e do passo anterior sabemos que \,b'(t)=a'(t-1)\,. Portanto
b'(t)=a'(t-1)=L\bigl(a(t-1)\bigr)=L\bigl(b(t)\bigr).
  • Conclusão: B também satisfaz a equação da velocidade limite em todo instante, ou seja,
b'(t)=L\bigl(b(t)\bigr)
para todo t. Assim B também circula sempre à velocidade limite.

Passo 5

Entendendo o item (c): expressão matemática da hipótese “ B está sempre a uma distância constante atrás de A” e que exigência isso impõe para que B ande sempre ao limite.
  • “Distância constante atrás” significa que existe constante c (geralmente c>0) tal que, para todo t,
a(t)-b(t)=c.
  • Dessa igualdade segue imediatamente que
b(t)=a(t)-c.
  • Diferenciando em t obtemos
b'(t)=a'(t),
pois c é constante.
  • Como A anda à velocidade limite, a'(t)=L\bigl(a(t)\bigr). Para que B também ande sempre à velocidade limite precisamos que para todo t
b'(t)=L\bigl(b(t)\bigr).
  • Substituindo b'(t)=a'(t) e b(t)=a(t)-c obtemos a condição necessária e suficiente
L\bigl(a(t)\bigr)=L\bigl(a(t)-c\bigr)\qquad\text{para todo }t.
  • Em palavras: o limite de velocidade no ponto onde A está tem de ser o mesmo que no ponto que fica à distância c atrás (onde B está). Isso tem duas interpretações úteis:
    • Se a exigência deve valer para todos os possíveis movimentos de A (isto é, independentemente do conjunto de posições que A visite), então a condição equivalente é
    L(x)=L(x-c)\qquad\text{para todos os }xou seja, L é invariante por translação de comprimento c. Uma forma particular disso é que L seja constante, ou mais geralmente que L seja periódica com período c.
    • Se a exigência precisa valer apenas ao longo das posições efetivamente percorridas por A, basta que L\bigl(a(t)\bigr)=L\bigl(a(t)-c\bigr) para todo t (ou seja, igualdade restrita ao trajeto de A).

Passo 6

Resumo final das conclusões, de forma direta e pronta para consultar na prova.
  • (a) A equação que expressa que A sempre viaja à velocidade limite é \;a'(t)=L\bigl(a(t)\bigr)\;.
  • (b) Se a'(t)=L\bigl(a(t)\bigr) para todo t e b(t)=a(t-1), então, usando b'(t)=a'(t-1), segue que b'(t)=L\bigl(b(t)\bigr) para todo t; logo B também circula à velocidade limite.
  • (c) Se a(t)-b(t)=c é constante, então b(t)=a(t)-c e b'(t)=a'(t). Para que B esteja sempre à velocidade limite é necessário e suficiente que
L\bigl(a(t)\bigr)=L\bigl(a(t)-c\bigr)\quad\text{para todo }t,
o que, se se quer uma condição independente da trajetória de A, equivale a exigir L(x)=L(x-c) para todo x (por exemplo, L constante ou periódica de período c).

Resposta

(a) a'(t)=L\bigl(a(t)\bigr)
(b) Sim. b'(t)=L\bigl(b(t)\bigr)
(c) Se a(t)-b(t)=c constante, então é necessário e suficiente que L\bigl(a(t)\bigr)=L\bigl(a(t)-c\bigr) para todo t. Se a condição deve valer para todas as posições, isto equivale a L(x)=L(x-c) para todo x (por exemplo, L constante ou periódica de período c).

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