e pede para encontrar f^{k}(x). Vou interpretar f^{k}(x) aqui como a k-ésima derivada de f, que normalmente se escreve f^{(k)}(x).
Informações e hipóteses que vou usar (tudo tirado do enunciado ou assumido por ser necessário):
A função é f(x)=(x-a)^{-n}.
Vou assumir que n é um inteiro positivo e que k é um inteiro não negativo (ou seja, queremos a derivada de ordem k). Se n não for inteiro, a fórmula em forma de produto também vale, mas a forma com fatoriais precisa da hipótese de inteireza.
O objetivo é obter uma expressão fechada (fórmula) para a k-ésima derivada f^{(k)}(x).
Passo 2
Lembrete importante (fórmula básica que vamos usar muitas vezes): a regra da potencia (caso simples de cadeia). Para qualquer expoente p,
\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{p}\bigr)=p\,(x-a)^{p-1},
porque a derivada de x-a é 1. Aqui cada derivada diminui o expoente em 1 e multiplica pelo expoente atual. Essa é a ferramenta básica para derivadas repetidas de potências.
Passo 3
Aplicando a regra da potência à nossa função para a primeira derivada (k=1):
Note como os fatores que aparecem no coeficiente formam uma sequência multiplicativa começando em n, depois n+1, etc., e o expoente no denominador aumenta para -n-2.
Passo 5
A partir dos casos k=1,2 já dá para conjecturar o padrão para a k-ésima derivada: cada derivada acrescenta um fator multiplicativo que é -(n + \text{(número de derivadas já tomadas)}) e diminui o expoente em 1. Assim o coeficiente após k derivadas será o produto
Para k=1: f'(x)=(-1)^1 n (x-a)^{-n-1}= -n(x-a)^{-n-1} (confere).
Para k=2: f''(x)=(-1)^2 n(n+1)(x-a)^{-n-2}=n(n+1)(x-a)^{-n-2} (confere).
Força aí — essa é a fórmula que você deve memorizar/usar em prova quando tiver funções do tipo (x-a)^{-n}. Dá para aplicar direto e chegar no resultado rapidinho.