Encontre f^{k}(x) se:
f(x)=\frac{1}{(x-a)^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{(x-a)^{n}}
e pede para encontrar f^{k}(x). Vou interpretar f^{k}(x) aqui como a k-ésima derivada de f, que normalmente se escreve f^{(k)}(x).
Informações e hipóteses que vou usar (tudo tirado do enunciado ou assumido por ser necessário):
  • A função é f(x)=(x-a)^{-n}.
  • Vou assumir que n é um inteiro positivo e que k é um inteiro não negativo (ou seja, queremos a derivada de ordem k). Se n não for inteiro, a fórmula em forma de produto também vale, mas a forma com fatoriais precisa da hipótese de inteireza.
  • O objetivo é obter uma expressão fechada (fórmula) para a k-ésima derivada f^{(k)}(x).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula básica que vamos usar muitas vezes): a regra da potencia (caso simples de cadeia). Para qualquer expoente p,
\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{p}\bigr)=p\,(x-a)^{p-1},
porque a derivada de x-a é 1. Aqui cada derivada diminui o expoente em 1 e multiplica pelo expoente atual. Essa é a ferramenta básica para derivadas repetidas de potências.

Passo 3

Aplicando a regra da potência à nossa função para a primeira derivada ( k=1):
f(x)=(x-a)^{-n}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{-n}\bigr)= -n\,(x-a)^{-n-1}.
Expliquei cada termo: o expoente original é -n, então multiplicamos por -n e subtraímos 1 do expoente, ficando -n-1.

Passo 4

Calcule a segunda derivada explicitamente para ver o padrão ( k=2). Derivando f'(x)= -n\,(x-a)^{-n-1}:
f''(x)= -n\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{-n-1}\bigr)= -n\cdot(-n-1)\,(x-a)^{-n-2}.
Multiplicando os sinais e os fatores obtemos
f''(x)=n(n+1)\,(x-a)^{-n-2}.
Note como os fatores que aparecem no coeficiente formam uma sequência multiplicativa começando em n, depois n+1, etc., e o expoente no denominador aumenta para -n-2.

Passo 5

A partir dos casos k=1,2 já dá para conjecturar o padrão para a k-ésima derivada: cada derivada acrescenta um fator multiplicativo que é -(n + \text{(número de derivadas já tomadas)})úá e diminui o expoente em 1. Assim o coeficiente após k derivadas será o produto
(-n)\cdot(-n-1)\cdot(-n-2)\cdots(-n-k+1).
Esse produto pode ser reescrito extraindo (-1)^k:
(-n)(-n-1)\cdots(-n-k+1)=(-1)^k\,n(n+1)\cdots(n+k-1).
E o expoente ficará -n-k. Portanto a fórmula conjecturada é
f^{(k)}(x)=(-1)^k\,n(n+1)\cdots(n+k-1)\,(x-a)^{-n-k}.
Aqui explico o que significa cada parte:
  • (-1)^k vem dos sinais negativos que aparecem ao derivar potências com expoente negativo repetidamente.
  • n(n+1)\cdots(n+k-1) é um produto com k fatores (quando k=0 o produto é entendido como 1).
  • O fator (x-a)^{-n-k} é a potência restante após reduzir o expoente original -n por k.

Passo 6

Prova por indução (para ficar rigoroso e você poder usar isso na prova):
Base ( k=0): f^{(0)}(x)=f(x)=(x-a)^{-n}. A fórmula dá com k=0:
(-1)^0 \underbrace{n(n+1)\cdots(n-1)}_{\text{produto vazio}=1}(x-a)^{-n-0}=(x-a)^{-n},
ok.
Passo indutivo: suponha a fórmula válida para k, isto é,
f^{(k)}(x)=(-1)^k\,\Bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(n+j)\Bigr)\,(x-a)^{-n-k}.
Derivando uma vez mais:
f^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(k)}(x) =(-1)^k\Bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(n+j)\Bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{-n-k}\bigr).
Usando a regra da potência na última derivada:
\frac{d}{dx}\bigl((x-a)^{-n-k}\bigr)=(-n-k)\,(x-a)^{-n-k-1}.
Então
f^{(k+1)}(x)=(-1)^k\Bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(n+j)\Bigr)\cdot(-n-k)\,(x-a)^{-n-k-1}.
Reagrupando os sinais e fatores:
f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k+1}\Bigl(\prod_{j=0}^{k}(n+j)\Bigr)\,(x-a)^{-n-(k+1)}.
Isto é exatamente a fórmula para a ordem k+1. Assim a fórmula vale para todo k por indução.

Passo 7

Apresento formas equivalentes e exemplos rápidos:
  • Produto fechado (forma mais direta):
f^{(k)}(x)=(-1)^k\,n(n+1)\cdots(n+k-1)\,(x-a)^{-n-k}.
  • Se n é inteiro positivo, pode-se usar fatoriais:
n(n+1)\cdots(n+k-1)=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!},
portanto, para inteiro n,
f^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\,(x-a)^{-n-k}.
  • Exemplos de checagem:
    • Para k=1: f'(x)=(-1)^1 n (x-a)^{-n-1}= -n(x-a)^{-n-1} (confere).
    • Para k=2: f''(x)=(-1)^2 n(n+1)(x-a)^{-n-2}=n(n+1)(x-a)^{-n-2} (confere).
Força aí — essa é a fórmula que você deve memorizar/usar em prova quando tiver funções do tipo (x-a)^{-n}. Dá para aplicar direto e chegar no resultado rapidinho.

Resposta

f^{(k)}(x)=(-1)^k\,n(n+1)\cdots(n+k-1)\,(x-a)^{-n-k}.
\text{(equivalentemente, se \(n\) é inteiro positivo:)}\quad f^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\,(x-a)^{-n-k}.é

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