Faça um esboço do gráfico de polinómio cúbico
sobre o intervalo fechado
. Encontre constantes
e
tais que a recta
será a tangente ao gráfico de
no ponto
. Uma segunda recta passando por
é também tangente ao gráfico de
no ponto
. Determine as coordenadas de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
definida no intervalo
e pede três coisas:
- Fazer um esboço do gráfico de
no intervalo dado. - Encontrar constantes
e tais que a reta seja tangente ao gráfico de no ponto . - Há uma segunda reta que passa por
e que também é tangente ao gráfico de num outro ponto ; determinar as coordenadas e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O intervalo para o esboço é
. - Um ponto conhecido na curva é
(de fato ). - Procura-se uma reta tangente em
e outra reta que, passando por , seja tangente noutro ponto da mesma curva.
Passo 2
Esboço do gráfico — vamos entender a forma da curva antes de desenhar (explicação passo a passo para sí):
- Zeros (raízes) de
: resolver . Logo . Ou seja, a curva corta o eixo em . - Simetria: verificar
. Então é função ímpar (simétrica em relação à origem). - Valores nas extremidades do intervalo dado:
. . Esses pontos ajudam a colocar a curva no esboço: em a função vale , em vale . - Derivada (para monotonia): vamos calcular melhor na sequência, mas adianto que a curva tem um mínimo local à esquerda da origem e um máximo local à direita (é um típico “S” invertido de um cúbico ímpar).
Com esses dados, o esboço deve mostrar uma curva passando por, cruzando o eixo em , atravessando a origem com inflexão e terminando em . O gráfico é ímpar, tem um ponto de inflexão em e extremos locais entre e .
Passo 3
Vamos aprender como obter a inclinação da tangente: o conceito de derivada. A derivada
dá a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto com abscissa
. Para polinómios usa-se a regra do poder: a derivada de
é
. Aplicando:
Aqui,
significa a inclinação da tangente em
. A expressão
é fácil de usar para obter a inclinação em qualquer ponto.
Passo 4
Tangente em
:
- A inclinação
nessa abscissa é . Calcule:
- A equação da reta tangente no ponto
é . Aqui e . Assim:
- Expandindo para a forma
:
Logo
e
.
Breve verificação: a reta passa por
porque
, e tem inclinação
conforme a derivada.
Passo 5
Agora a segunda reta: enunciado diz que existe outra reta que passa por
e que é tangente ao gráfico em
. Vamos traduzir isso em equações:
- Como
está na curva, . - A reta que passa por
e tem inclinação igual ao coeficiente angular entre esses dois pontos:
- Se essa reta é tangente ao gráfico em
, essa inclinação deve ser igual à derivada em , ou seja:
- Substituindo
nesta igualdade:
Passo 6
Resolver a equação obtida para
(lembrando que
se queremos um ponto distinto de
):
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Passando tudo para um lado:
Multiplicando por
para ficar mais habitual:
Passo 7
Resolver o polinómio cúbico
. Teste se
é raiz (esse caso corresponde ao ponto
já conhecido):
Portanto
é uma raiz. Podemos factorizar dividindo por
. Fazendo a divisão (ou factorização):
Agora resolvemos a quadrática
. O discriminante é
Logo as raízes são
Isso dá duas soluções:
A solução
já era o ponto dado; a segunda solução distinta é
Passo 8
Encontrar
correspondente (ou seja
quando
):
Verificação rápida da inclinação:
Inclinação entre e
é
Inclinação entre
coincidindo com
. Portanto a reta que passa por
e
é realmente tangente ao gráfico em
.