Faça um esboço do gráfico de polinómio cúbico f(x)=x-x^{3} sobre o intervalo fechado -2 \leq x \leq 2. Encontre constantes m e b tais que a recta y=m x+b será a tangente ao gráfico de f no ponto (-1,0). Uma segunda recta passando por (-1,0) é também tangente ao gráfico de f no ponto (a, c). Determine as coordenadas de a e c.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=x-x^{3} definida no intervalo [-2,2] e pede três coisas:
  • Fazer um esboço do gráfico de f no intervalo dado.
  • Encontrar constantes m e b tais que a reta y=mx+b seja tangente ao gráfico de f no ponto (-1,0).
  • Há uma segunda reta que passa por (-1,0) e que também é tangente ao gráfico de f num outro ponto (a,c); determinar as coordenadas a e c.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x-x^{3}.
  • O intervalo para o esboço é -2\le x\le 2.
  • Um ponto conhecido na curva é (-1,0) (de fato f(-1)=0).
  • Procura-se uma reta tangente em (-1,0) e outra reta que, passando por (-1,0), seja tangente noutro ponto (a,c) da mesma curva.

Passo 2

Esboço do gráfico — vamos entender a forma da curva antes de desenhar (explicação passo a passo para sí):
  • Zeros (raízes) de f: resolver x-x^{3}=0 \Rightarrow x(1-x^{2})=0. Logo x=0,\;x=1,\;x=-1. Ou seja, a curva corta o eixo x em -1,0,1.
  • Simetria: verificar f(-x)= -x -(-x)^{3} = -x + x^{3} = -(x-x^{3}) = -f(x). Então f é função ímpar (simétrica em relação à origem).
  • Valores nas extremidades do intervalo dado: f(-2)= -2 -(-8)=6. f(2)=2-8=-6. Esses pontos ajudam a colocar a curva no esboço: em x=-2 a função vale 6, em x=2 vale -6.
  • Derivada (para monotonia): vamos calcular melhor na sequência, mas adianto que a curva tem um mínimo local à esquerda da origem e um máximo local à direita (é um típico “S” invertido de um cúbico ímpar).
    Com esses dados, o esboço deve mostrar uma curva passando por (-2,6), cruzando o eixo x em -1,0,1, atravessando a origem com inflexão e terminando em (2,-6). O gráfico é ímpar, tem um ponto de inflexão em x=0 e extremos locais entre -1 e 1.

Passo 3

Vamos aprender como obter a inclinação da tangente: o conceito de derivada. A derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto com abscissa x. Para polinómios usa-se a regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando:
f(x)=x-x^{3}
\Rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=1-3x^{2}.
Aqui, f'(x) significa a inclinação da tangente em x. A expressão 1-3x^{2} é fácil de usar para obter a inclinação em qualquer ponto.

Passo 4

Tangente em (-1,0):
  • A inclinação m nessa abscissa é m=f'(-1). Calcule:
f'(-1)=1-3(-1)^{2}=1-3= -2.
  • A equação da reta tangente no ponto (x_{0},y_{0}) é y-y_{0}=m(x-x_{0}). Aqui x_{0}=-1 e y_{0}=0. Assim:
y-0 = -2\bigl(x-(-1)\bigr)= -2(x+1).
  • Expandindo para a forma y=mx+b:
y = -2x -2.
Logo m=-2 e b=-2.
Breve verificação: a reta passa por (-1,0) porque y(-1)=-2(-1)-2=2-2=0, e tem inclinação -2 conforme a derivada.

Passo 5

Agora a segunda reta: enunciado diz que existe outra reta que passa por (-1,0) e que é tangente ao gráfico em (a,c). Vamos traduzir isso em equações:
  • Como (a,c) está na curva, c=f(a)=a-a^{3}.
  • A reta que passa por (-1,0) e (a,c) tem inclinação igual ao coeficiente angular entre esses dois pontos:
\text{slope} = \frac{c-0}{a-(-1)}=\frac{c}{a+1}.
  • Se essa reta é tangente ao gráfico em (a,c), essa inclinação deve ser igual à derivada em a, ou seja:
\frac{c}{a+1}=f'(a)=1-3a^{2}.
  • Substituindo c=f(a)=a-a^{3} nesta igualdade:
\frac{a-a^{3}}{a+1}=1-3a^{2}.

Passo 6

Resolver a equação obtida para a (lembrando que a\neq -1 se queremos um ponto distinto de (-1,0)):
Multiplicando ambos os lados por a+1:
a-a^{3}=(1-3a^{2})(a+1).
Expandindo o lado direito:
a-a^{3} = a -3a^{3} +1 -3a^{2}.
Passando tudo para um lado:
0 = (a -3a^{3} +1 -3a^{2}) - (a-a^{3})
0 = a -3a^{3} +1 -3a^{2} -a + a^{3}
0 = (-3a^{3}+a^{3}) + (-3a^{2}) + (a-a) +1
0 = -2a^{3} -3a^{2} +1.
Multiplicando por -1 para ficar mais habitual:
2a^{3} +3a^{2} -1 = 0.

Passo 7

Resolver o polinómio cúbico 2a^{3}+3a^{2}-1=0. Teste se a=-1 é raiz (esse caso corresponde ao ponto (-1,0) já conhecido):
2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-1 = -2 +3 -1 =0.
Portanto a=-1 é uma raiz. Podemos factorizar dividindo por (a+1). Fazendo a divisão (ou factorização):
2a^{3}+3a^{2}-1 = (a+1)(2a^{2}+a-1).
Agora resolvemos a quadrática 2a^{2}+a-1=0. O discriminante é
\Delta = 1^{2} -4\cdot 2\cdot(-1) = 1+8 = 9.
Logo as raízes são
a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
Isso dá duas soluções:
a = \frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad a = \frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1.
A solução a=-1 já era o ponto dado; a segunda solução distinta é
a=\frac{1}{2}.

Passo 8

Encontrar c correspondente (ou seja c=f(a) quando a=\tfrac{1}{2}):
c = f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)= \tfrac{1}{2} -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{4}{8}-\tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.
Verificação rápida da inclinação: f'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1-3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=1-3\cdot\tfrac{1}{4}=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.
Inclinação entre (-1,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{8}) é
\frac{\tfrac{3}{8}-0}{\tfrac{1}{2}+1}=\frac{3/8}{3/2}=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{4},
coincidindo com f'(\tfrac{1}{2}). Portanto a reta que passa por (-1,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{8}) é realmente tangente ao gráfico em (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{8}).

Resposta

m=-2,\; b=-2
a=\dfrac{1}{2},\; c=\dfrac{3}{8}

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