Encontre
.
d)
em
d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
para a função
dada por
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
. - Precisamos garantir que a função esteja definida em
antes de avaliar a derivada (ou seja, que exista e que no denominador; aqui ).
Passo 2
Estratégia: primeiro calculamos a derivada geral
(simbolicamente) e depois avaliamos em
. Para isso usamos a regra do quociente e a derivada da função trigonométrica
. Vou explicar essas duas ideias passo a passo.
Regra do quociente (explicação): se
e
são funções diferenciáveis e
, então a derivada de
é
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A fórmula vem de aplicar a definição de derivada e algumas manipulações algébricas; na prova é comum memorizar e aplicar direto.
Derivada de
(explicação e demonstração curta):
. Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia,
Agora note que
. Logo
Passo 3
Aplique a regra do quociente com
e
.
Compute
e
:
Aplicando a fórmula da regra do quociente:
Agora fatoramos
no numerador para simplificar:
Essa é a expressão geral da derivada; é a que eu usarei para avaliar em
.
Passo 4
Avaliar
em
. Precisamos das valores trigonométricos básicos em
:
-
porque seno de é e cosseno de é . -
.
Substituindo em
obtemos
Calcule o numerador passo a passo:
então
Portanto