Encontre f^{\prime}\text{(c)}.
d) f(t)=\frac{\operatorname{sec} (t)}{t} em c=\pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f^{\prime}\text{(c)} para a função f dada por
f(t)=\frac{\operatorname{sec}(t)}{t}
no ponto c=\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(t)=\dfrac{\operatorname{sec}(t)}{t}.
  • O ponto onde queremos a derivada é c=\pi.
  • Precisamos garantir que a função esteja definida em t=\pi antes de avaliar a derivada (ou seja, que \operatorname{sec}(\pi) exista e que t\neq0 no denominador; aqui t=\pi\neq0).

Passo 2

Estratégia: primeiro calculamos a derivada geral f'(t) (simbolicamente) e depois avaliamos em t=\pi. Para isso usamos a regra do quociente e a derivada da função trigonométrica \operatorname{sec}(t). Vou explicar essas duas ideias passo a passo.
Regra do quociente (explicação): se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis e v(t)\neq0, então a derivada de \dfrac{u(t)}{v(t)} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'(t) é a derivada de u em relação a t e v'(t) é a derivada de v em relação a t. A fórmula vem de aplicar a definição de derivada e algumas manipulações algébricas; na prova é comum memorizar e aplicar direto.
Derivada de \operatorname{sec}(t) (explicação e demonstração curta): \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}. Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\cos(t)}\right) = -\frac{0\cdot\cos(t)-1\cdot(-\sin(t))}{\cos^{2}(t)} = \frac{\sin(t)}{\cos^{2}(t)}.
Agora note que \dfrac{\sin(t)}{\cos^{2}(t)}=\dfrac{1}{\cos(t)}\cdot\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}=\operatorname{sec}(t)\tan(t). Logo
\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t).

Passo 3

Aplique a regra do quociente com u(t)=\operatorname{sec}(t) e v(t)=t.
Compute u'(t) e v'(t):
u'(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t),\qquad v'(t)=1.
Aplicando a fórmula da regra do quociente:
f'(t)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\big(\operatorname{sec}(t)\tan(t)\big)\cdot t - \operatorname{sec}(t)\cdot 1}{t^{2}}.
Agora fatoramos \operatorname{sec}(t) no numerador para simplificar:
f'(t)=\frac{\operatorname{sec}(t)\big(t\tan(t)-1\big)}{t^{2}}.
Essa é a expressão geral da derivada; é a que eu usarei para avaliar em t=\pi.

Passo 4

Avaliar f'(t) em t=\pi. Precisamos das valores trigonométricos básicos em \pi:
  • \tan(\pi)=0 porque seno de \pi é 0 e cosseno de \pi é -1.
  • \operatorname{sec}(\pi)=\dfrac{1}{\cos(\pi)}=\dfrac{1}{-1}=-1.
Substituindo em
f'(t)=\frac{\operatorname{sec}(t)\big(t\tan(t)-1\big)}{t^{2}}
obtemos
f'(\pi)=\frac{\operatorname{sec}(\pi)\big(\pi\cdot\tan(\pi)-1\big)}{\pi^{2}} =\frac{(-1)\big(\pi\cdot 0 - 1\big)}{\pi^{2}}.
Calcule o numerador passo a passo:
\pi\cdot 0 - 1 = -1,
então
(-1)\cdot(-1)=1.
Portanto
f'(\pi)=\frac{1}{\pi^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\pi^{2}}

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