Encontre f^{\prime}\text{(c)}.
c) f(x)=x \cos x em c=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \,f'\text{(c)}\, para a função \,f(x)=x\cos x\, no ponto \,c=\pi/4.
Informações dadas:
\,f(x)=x\cos x\,.
\,c=\pi/4\,.
Pergunta: calcular o valor de \,f'\text{(c)}\,.

Passo 2

O que é \,f'\text{(c)}\,? É a derivada de \,f avaliada em \,x=c, isto é, a taxa de variação instantânea de \,f naquele ponto (também interpretada como a inclinação da reta tangente em x=c). Formalmente a derivada de uma função é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas quando a função é produto de duas funções mais simples podemos usar uma regra pronta chamada regra do produto para simplificar os cálculos.

Passo 3

Regra do produto (explicação didática): se \,u(x) e \,v(x) são funções diferenciáveis, e \,f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Intuição rápida: a variação do produto vem da variação de um fator mantendo o outro fixo, somada à variação do segundo fator mantendo o primeiro fixo. Essa é a forma que nos permitirá derivar \,x\cos x sem fazer o limite diretamente.

Passo 4

Identificamos os fatores no nosso caso:
\,u(x)=x e \,v(x)=\cos x.
Agora precisamos das derivadas de cada um:
a) \,u'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1\, (derivada de x é 1).
b) \,v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\, (derivada de \cos x é -\sin x).
(Se quiser memorizar: \frac{d}{dx}\sin x=\cos x e \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.)

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Portanto a expressão geral da derivada é \,f'(x)=\cos x - x\sin x\,.

Passo 6

Agora avaliamos em \,c=\pi/4. Sabemos que \,\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo:
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Fatorando \,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\, obtemos uma forma mais compacta:
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
Podemos também escrever de forma equivalente:
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{8}\,(4-\pi).

Resposta

\displaystyle f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{8}\,(4-\pi)

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