Encontre
.
c)
em
c)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
para a função
no ponto
.
Informações dadas:
.
.
Pergunta: calcular o valor de .
Informações dadas:
Pergunta: calcular o valor de
Passo 2
O que é
? É a derivada de
avaliada em
, isto é, a taxa de variação instantânea de
naquele ponto (também interpretada como a inclinação da reta tangente em
). Formalmente a derivada de uma função é o limite
mas quando a função é produto de duas funções mais simples podemos usar uma regra pronta chamada regra do produto para simplificar os cálculos.
Passo 3
Regra do produto (explicação didática): se
e
são funções diferenciáveis, e
, então
Intuição rápida: a variação do produto vem da variação de um fator mantendo o outro fixo, somada à variação do segundo fator mantendo o primeiro fixo. Essa é a forma que nos permitirá derivar
sem fazer o limite diretamente.
Passo 4
Identificamos os fatores no nosso caso:
e
.
Agora precisamos das derivadas de cada um:
a) (derivada de
é
).
b) (derivada de
é
).
(Se quiser memorizar: e
.)
Agora precisamos das derivadas de cada um:
a)
b)
(Se quiser memorizar:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Portanto a expressão geral da derivada é
.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Sabemos que
. Substituindo:
Passo 7
Fatorando
obtemos uma forma mais compacta:
Podemos também escrever de forma equivalente: