Encontre f^{\prime}\text{(c)}.
b) f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-3} em c=1

Passo 1

O problema pede para encontrar f^{\prime}\text{(c)} para a função dada em c=1. Informações fornecidas:
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-3},\qquad c=1.
Ou seja, precisamos calcular a derivada de f e depois avaliar essa derivada em x=1.

Passo 2

Uma maneira eficiente é primeiro simplificar a função por divisão de polinômios (isso evita trabalhar direto com quociente no passo inicial). Faço a divisão de x^{2}-4 por x-3. Observe que
(x-3)(x+3)=x^{2}-9.
Subtraindo dessa expressão obtemos o resto:
x^{2}-4-(x^{2}-9)=5.
Logo a decomposição é
x^{2}-4=(x-3)(x+3)+5,
e portanto
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-3}=x+3+\frac{5}{x-3}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Vou lembrar e explicar as regras usadas:
  • A derivada da soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • Para g(x)=(x-3)^{-1} usamos a regra da cadeia: a derivada de t^{-1} em relação a t é -t^{-2}, e como t=x-3 tem derivada 1, obtemos \dfrac{d}{dx}(x-3)^{-1}=- (x-3)^{-2}.
Aplicando isso em cada termo de f(x)=x+3+5(x-3)^{-1}:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(3)=0.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(5(x-3)^{-1}\right)=5\cdot\left(- (x-3)^{-2}\right)=-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}.
Portanto
f^{\prime}(x)=1-\frac{5}{(x-3)^{2}}.

Passo 4

Agora avalio em c=1. Substituo x=1 em f^{\prime}(x):
f^{\prime}(1)=1-\frac{5}{(1-3)^{2}}.
Calculo o denominador: (1-3)^{2}=(-2)^{2}=4. Então
f^{\prime}(1)=1-\frac{5}{4}= \frac{4}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Verificação (opcional, para ganhar confiança): usando a regra do quociente diretamente com u(x)=x^{2}-4 e v(x)=x-3, tem-se u'=2x e v'=1, e
f^{\prime}(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2x(x-3)-(x^{2}-4)}{(x-3)^{2}}=\frac{x^{2}-6x+4}{(x-3)^{2}}.
Observe que \dfrac{x^{2}-6x+4}{(x-3)^{2}}=\displaystyle 1-\dfrac{5}{(x-3)^{2}} (basta expandir (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9 e subtrair 5). Avaliando em x=1 obtemos novamente -\dfrac{1}{4}, conforme calculado.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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