Encontre
.
b)
em
b)
Passo 1
O problema pede para encontrar
para a função dada em
. Informações fornecidas:
Ou seja, precisamos calcular a derivada de
e depois avaliar essa derivada em
.
Passo 2
Uma maneira eficiente é primeiro simplificar a função por divisão de polinômios (isso evita trabalhar direto com quociente no passo inicial). Faço a divisão de
por
. Observe que
Subtraindo dessa expressão obtemos o resto:
Logo a decomposição é
e portanto
Passo 3
Agora derivamos termo a termo. Vou lembrar e explicar as regras usadas:
- A derivada da soma é a soma das derivadas.
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante é
. - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e como tem derivada , obtemos .
Aplicando isso em cada termo de
:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Agora avalio em
. Substituo
em
:
Calculo o denominador:
. Então
Passo 5
Verificação (opcional, para ganhar confiança): usando a regra do quociente diretamente com
e
, tem-se
e
, e
Observe que
(basta expandir
e subtrair
). Avaliando em
obtemos novamente
, conforme calculado.