Encontre f^{\prime}(a) usando a definição de derivada, isto é, f^{\prime}(a)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
f(x)=3 x^{2}-4 x+1

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede para encontrar f'(a) usando a definição de derivada f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}.
  • Dá a função f(x)=3x^{2}-4x+1.
  • Além disso, solicita que sejam estabelecidos os domínios de f e de f'.

Passo 2

Entendendo a definição e as letras:
  • Em \Delta x está a variação na variável independente; \Delta x se aproxima de 0.
  • O numerador compara o valor da função num ponto deslocado a+\Delta x com o valor no ponto a.
  • Vamos substituir x=a+\Delta x em f(x) e fazer as contas passo a passo para simplificar a fração antes de tomar o limite.

Passo 3

Calcular f(a+\Delta x) substituindo x=a+\Delta x em f(x):
f(a+\Delta x)=3(a+\Delta x)^{2}-4(a+\Delta x)+1.
Expandindo o quadrado e distribuindo:
(a+\Delta x)^{2}=a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2},
portanto
f(a+\Delta x)=3\big(a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2}\big)-4a-4\Delta x+1.
Multiplicando por 3:
f(a+\Delta x)=3a^{2}+6a\Delta x+3(\Delta x)^{2}-4a-4\Delta x+1.

Passo 4

Calcular o numerador da definição:
f(a+\Delta x)-f(a).
Sabendo que
f(a)=3a^{2}-4a+1,
fazemos a subtração (observe o cancelamento de termos idênticos):
\begin{aligned} f(a+\Delta x)-f(a) &=\big(3a^{2}+6a\Delta x+3(\Delta x)^{2}-4a-4\Delta x+1\big)\\\ &\quad -\big(3a^{2}-4a+1\big)\\\ &=6a\Delta x+3(\Delta x)^{2}-4\Delta x. \end{aligned}
Fatorando \Delta x do numerador:
f(a+\Delta x)-f(a)=\Delta x\big(6a+3\Delta x-4\big).

Passo 5

Formar a fração da definição e simplificar antes de tirar o limite:
\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} =\frac{\Delta x\big(6a+3\Delta x-4\big)}{\Delta x} =6a+3\Delta x-4,
válido para \Delta x\neq0. Agora tomamos o limite quando \Delta x\to0:
f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\big(6a+3\Delta x-4\big)=6a-4.
Interpretação rápida: o resultado é uma função de a. Se quiser checar com a regra do poder, \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=6x, \dfrac{d}{dx}(-4x)=-4, e a constante some — dá o mesmo 6x-4.

Passo 6

Domínios:
  • f(x) é um polinômio; polinômios estão definidos para todos os números reais. Logo \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}.
  • A derivada encontrada é f'(a)=6a-4, uma função polinomial primeiro grau, também definida para todos os reais. Logo \mathrm{dom}(f')=\mathbb{R}.

Resposta

f'(a)=6a-4
\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{dom}(f')=\mathbb{R}

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