Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede para encontrar
usando a definição de derivada - Dá a função
- Além disso, solicita que sejam estabelecidos os domínios de
e de .
Passo 2
Entendendo a definição e as letras:
- Em
está a variação na variável independente; se aproxima de . - O numerador compara o valor da função num ponto deslocado
com o valor no ponto . - Vamos substituir
em e fazer as contas passo a passo para simplificar a fração antes de tomar o limite.
Passo 3
Calcular
substituindo
em
:
Expandindo o quadrado e distribuindo:
portanto
Multiplicando por
:
Passo 4
Calcular o numerador da definição:
Sabendo que
fazemos a subtração (observe o cancelamento de termos idênticos):
Fatorando
do numerador:
Passo 5
Formar a fração da definição e simplificar antes de tirar o limite:
válido para
. Agora tomamos o limite quando
:
Interpretação rápida: o resultado é uma função de
. Se quiser checar com a regra do poder,
,
, e a constante some — dá o mesmo
.
Passo 6
Domínios:
-
é um polinômio; polinômios estão definidos para todos os números reais. Logo . - A derivada encontrada é
, uma função polinomial primeiro grau, também definida para todos os reais. Logo .