Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado, usando limite para obter o coeficiente angular (declive) da reta.
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado, usando limite para obter o coeficiente angular (declive) da reta.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto
é o limite do coeficiente angular da secante que liga
a
, quando
tende a
. Em fórmula:
Aqui
é o coeficiente angular que queremos,
é o valor da função num ponto próximo,
é o valor da função no ponto de tangência, e a fração é o coeficiente angular da secante. À medida que
se aproxima de
, essa fração tende ao coeficiente angular da tangente.
No nosso caso
e
. Então montamos o limite:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite de forma algébrica, para poder cancelar o fator que dá problema quando
.
Primeiro, coloque a diferença de frações sobre um denominador comum:
Substituindo na expressão do coeficiente:
Agora fatoramos o numerador
. Observando que
, temos
Substituindo:
Podemos cancelar o fator
(que é o motivo do problema inicial) para obter uma expressão sem indeterminação:
Passo 4
Agora que a expressão está simplificada, temos o limite direto:
Podemos simplesmente substituir
:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado é
.
Passo 5
Com o coeficiente angular em mãos e o ponto
, usamos a forma ponto-de-reta:
Substituindo
,
e
:
Agora simplifico para forma ordinária (
):
Verificação rápida: se
,
, portanto a reta realmente passa pelo ponto dado.