Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, \quad\left(-2, \frac{1}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} e o ponto \left(-2,\dfrac{1}{4}\right).
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado, usando limite para obter o coeficiente angular (declive) da reta.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto x=a é o limite do coeficiente angular da secante que liga a a x, quando x tende a a. Em fórmula:
m=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui m é o coeficiente angular que queremos, f(x) é o valor da função num ponto próximo, f(a) é o valor da função no ponto de tangência, e a fração é o coeficiente angular da secante. À medida que x se aproxima de a, essa fração tende ao coeficiente angular da tangente.
No nosso caso a=-2 e f(a)=\dfrac{1}{4}. Então montamos o limite:
m=\lim_{x\to -2}\frac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{4}}{x+2}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite de forma algébrica, para poder cancelar o fator que dá problema quando x=-2.
Primeiro, coloque a diferença de frações sobre um denominador comum:
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}=\frac{4-x^{2}}{4x^{2}}.
Substituindo na expressão do coeficiente:
\frac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{4}}{x+2}=\frac{\,\dfrac{4-x^{2}}{4x^{2}}\,}{x+2}=\frac{4-x^{2}}{4x^{2}(x+2)}.
Agora fatoramos o numerador 4-x^{2}. Observando que 4-x^{2}=(2-x)(2+x), temos
4-x^{2}=(2-x)(x+2).
Substituindo:
\frac{4-x^{2}}{4x^{2}(x+2)}=\frac{(2-x)(x+2)}{4x^{2}(x+2)}.
Podemos cancelar o fator (x+2) (que é o motivo do problema inicial) para obter uma expressão sem indeterminação:
\frac{(2-x)(x+2)}{4x^{2}(x+2)}=\frac{2-x}{4x^{2}},\qquad x\neq -2.

Passo 4

Agora que a expressão está simplificada, temos o limite direto:
m=\lim_{x\to -2}\frac{2-x}{4x^{2}}.
Podemos simplesmente substituir x=-2:
m=\frac{2-(-2)}{4(-2)^{2}}=\frac{4}{4\cdot 4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado é m=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Com o coeficiente angular em mãos e o ponto \left(-2,\dfrac{1}{4}\right), usamos a forma ponto-de-reta:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo y_{0}=\dfrac{1}{4}, x_{0}=-2 e m=\dfrac{1}{4}:
y-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\bigl(x-(-2)\bigr)=\frac{1}{4}(x+2).
Agora simplifico para forma ordinária ( y=mx+b):
y=\frac{1}{4}(x+2)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}.
Verificação rápida: se x=-2, y=\dfrac{1}{4}(-2)+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}, portanto a reta realmente passa pelo ponto dado.

Resposta

y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}

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