Calcular por integral tripla, o volume de um cilindro de raio R e altura h.

Passo 1

O enunciado pede: calcular, por integral tripla, o volume de um cilindro com raio R e altura h.
Informações dadas:
  • raio da base: R;
  • altura: h.
    O que se quer: o volume do sólido (cilindro direito) usando uma integral tripla.

Passo 2

Como o sólido é um cilindro circular direito, a forma mais natural é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Vou explicar o que são e por que usar:
  • Definição da mudança de variáveis (do plano cartesiano para cilindricas):
    x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
    Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy e z é a coordenada vertical do cilindro.
  • Limites naturais para o cilindro com base no plano z=0 e topo em z=h:
    0 \le r \le R,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le z \le h.
  • Elemento de volume (jacobiano): quando trocamos de (x,y,z) para (r,\theta,z), o diferencial de volume dV vira
    dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
    Explicação do porquê: a matriz jacobiana da transformação é
    J=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial z}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial z}\\[6pt] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
    O determinante dessa matriz é
    \det J = 1\cdot\big(r\cos^2\theta + r\sin^2\theta\big)=r.
    Por isso aparece o fator r no diferencial de volume.]

Passo 3

Escrevo a integral tripla que dá o volume do sólido E (integrando a função constante 1 sobre E):
V=\iiint_{E} dV.
Em coordenadas cilíndricas isso vira a integral iterada com o jacobiano:
V=\int_{z=0}^{h}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui a ordem escolhida é primeiro integrar em r, depois em \theta e por fim em z. Em cada etapa as demais variáveis são tratadas como constantes.

Passo 4

Calculo passo a passo as integrais internas:
  1. Integral em r:
\int_{r=0}^{R} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{R}=\tfrac{1}{2}R^{2}.
Detalhe: usei a fórmula \int r\,dr = \tfrac{1}{2}r^{2}.
  1. Substituindo o resultado na integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}R^{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}R^{2}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=\tfrac{1}{2}R^{2}\cdot 2\pi=\pi R^{2}.
Aqui a integranda é constante em \theta, então a integral é simplesmente a constante vezes o comprimento do intervalo 2\pi.
  1. Finalmente a integral em z:
\int_{z=0}^{h} \pi R^{2}\,dz = \pi R^{2}\cdot\left.z\right|_{0}^{h}=\pi R^{2}h.
Novamente integrando uma constante em z.

Passo 5

Interpretação física rápida (útil na prova): o resultado \pi R^{2}h é a área da base circular \pi R^{2} vezes a altura h, exatamente o que se espera para o volume de um cilindro. A integral tripla apenas formaliza isso via soma de fatias elementares.

Resposta

\pi R^{2}h

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