Calcular por integral tripla, o volume de um cilindro de raio
e altura
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, por integral tripla, o volume de um cilindro com raio
e altura
.
Informações dadas:
- raio da base:
; - altura:
.
O que se quer: o volume do sólido (cilindro direito) usando uma integral tripla.
Passo 2
Como o sólido é um cilindro circular direito, a forma mais natural é usar coordenadas cilíndricas
. Vou explicar o que são e por que usar:
-
Definição da mudança de variáveis (do plano cartesiano para cilindricas):Aqui
é a distância ao eixo , é o ângulo no plano e é a coordenada vertical do cilindro. -
Limites naturais para o cilindro com base no plano
e topo em : -
Elemento de volume (jacobiano): quando trocamos de
para , o diferencial de volume vira Explicação do porquê: a matriz jacobiana da transformação éO determinante dessa matriz éPor isso aparece o fator no diferencial de volume.]
Passo 3
Escrevo a integral tripla que dá o volume do sólido
(integrando a função constante
sobre
):
Em coordenadas cilíndricas isso vira a integral iterada com o jacobiano:
Aqui a ordem escolhida é primeiro integrar em
, depois em
e por fim em
. Em cada etapa as demais variáveis são tratadas como constantes.
Passo 4
Calculo passo a passo as integrais internas:
- Integral em
:
Detalhe: usei a fórmula
.
- Substituindo o resultado na integral em
:
Aqui a integranda é constante em
, então a integral é simplesmente a constante vezes o comprimento do intervalo
.
- Finalmente a integral em
:
Novamente integrando uma constante em
.
Passo 5
Interpretação física rápida (útil na prova): o resultado
é a área da base circular
vezes a altura
, exatamente o que se espera para o volume de um cilindro. A integral tripla apenas formaliza isso via soma de fatias elementares.