Encontre
se
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. - Condições:
e .
O que é pedido:
- Encontrar a função
que satisfaz e as duas condições iniciais.
Passo 2
Para obter
a partir de
é preciso integrar duas vezes. Lembrete sobre a regra de integração que usaremos: para
,
onde
é uma constante de integração. Vamos aplicar essa regra termo a termo em
.
Integramos
para achar
:
Somando e acrescentando a constante de integração
obtemos
Passo 3
Agora integramos
para obter
. Integramos termo a termo e introduzimos uma segunda constante de integração
:
Portanto a forma geral de
é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições dadas.
Passo 4
Usamos a condição
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, segue que
Passo 5
Usamos a condição
. Substituindo
na expressão geral (ainda com
desconhecido e usando
):
Calculando os termos numéricos:
, então
Como
, temos
Passo 6
Verificações rápidas (opcional e breve): com
e
as constantes estão determinadas. Se necessário, pode-se derivar duas vezes a forma geral para checar que volta a
. Tudo consistente.