Encontre f se f^{\prime \prime}(x)=12 x^{2}+6 x-4, f(0)=4 e f(1)=1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f''(x)=12x^{2}+6x-4.
  • Condições: f(0)=4 e f(1)=1.
O que é pedido:
  • Encontrar a função f(x) que satisfaz f''(x)=12x^{2}+6x-4 e as duas condições iniciais.

Passo 2

Para obter f a partir de f'' é preciso integrar duas vezes. Lembrete sobre a regra de integração que usaremos: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é uma constante de integração. Vamos aplicar essa regra termo a termo em f''(x).
Integramos f''(x)=12x^{2}+6x-4 para achar f'(x):
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2},
\int (-4)\,dx = -4x.
Somando e acrescentando a constante de integração C_{1} obtemos
f'(x)=4x^{3}+3x^{2}-4x+C_{1}.

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Integramos termo a termo e introduzimos uma segunda constante de integração C_{2}:
\int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4},
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3},
\int (-4x)\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2}=-2x^{2},
\int C_{1}\,dx = C_{1}x.
Portanto a forma geral de f é
f(x)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições dadas.

Passo 4

Usamos a condição f(0)=4. Substituindo x=0 na expressão geral:
f(0)=0+0-0+C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}.
Como f(0)=4, segue que
C_{2}=4.

Passo 5

Usamos a condição f(1)=1. Substituindo x=1 na expressão geral (ainda com C_{1} desconhecido e usando C_{2}=4):
f(1)=1^{4}+1^{3}-2\cdot 1^{2}+C_{1}\cdot 1 + C_{2}=1+1-2+C_{1}+4.
Calculando os termos numéricos: 1+1-2=0, então
f(1)=0+C_{1}+4=C_{1}+4.
Como f(1)=1, temos
C_{1}+4=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-3.

Passo 6

Verificações rápidas (opcional e breve): com C_{1}=-3 e C_{2}=4 as constantes estão determinadas. Se necessário, pode-se derivar duas vezes a forma geral para checar que volta a f''(x)=12x^{2}+6x-4. Tudo consistente.

Resposta

f(x)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}-3x+4

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