(2,5 pontos) Calcule todos os autovalores do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz em relação a base canônica é dada pela matriz abaixo. Além disso, exiba uma base ortogonal do \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de T.
Calcular todos os autovalores de T (ou seja, os autovalores de A).
Exibir uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T.
Informações relevantes dadas:
A matriz é explícita e real.
Observação útil: a matriz tem um bloco 1\times12 na primeira coordenada e um bloco 2\times2 na parte inferior direita \begin{pmatrix}1&3\\[2pt]3&1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Conceitos e método que vamos usar (explicado devagarinho).
Um autovalor \lambda de A é um número tal que existe vetor não-nulo v com A v=\lambda v. O vetor v chama-se autovetor associado a \lambda.
Para encontrar autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I) e resolvemos \det(A-\lambda I)=0.
Depois, para cada autovalor \lambda, encontramos a nulidade de A-\lambda I (isto é, resolvemos o sistema (A-\lambda I)v=0) para obter os autovetores.
Observação prática: aqui A é simétrica (A^T=A), e para matrizes simétricas reais os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Então esperamos uma base ortogonal formada por autovetores.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Como A tem a forma de bloco com o elemento 2 na primeira linha/coluna, temos:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[2pt] 0\cdot x - y + 3z = 0,\\[2pt] 0\cdot x + 3y - z = 0. \end{cases}
A primeira linha dá nenhuma restrição sobre x\] (qualquer \(x é permitido). Das outras duas equações:
-y+3z=0 \quad\text{e}\quad 3y-z=0.
Da primeira vem y=3z. Substituindo na segunda: 3(3z)-z=9z-z=8z=0, então z=0. Então y=0. Assim y=z=0 e x é livre (não-nulo para ser autovetor). Portanto o espaço próprio para \lambda=2 é
Verificar ortogonalidade dos autovetores encontrados.
Calcule os produtos internos (produto escalar usual em \mathbb{R}^3):
v_1\cdot v_2=(1,0,0)\cdot(0,1,1)=0,
v_1\cdot v_3=(1,0,0)\cdot(0,1,-1)=0,
v_2\cdot v_3=(0,1,1)\cdot(0,1,-1)=1-1=0.
Todos os pares são ortogonais. Como os três vetores são não-nulos e mutuamente ortogonais, eles formam uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores.
Observação adicional (intuitiva): isso era esperado porque A é simétrica; autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica são sempre ortogonais.
Passo 9
Se desejar uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor: